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sich schliessen, wircl statt der Quadrat wurz el der grundlegenden 

 Cosinusdifferenz eine fx te Potenz eingefuhrt , wo O^jjkI; 

 ausserdem sind die einzelnen Glieder der Entwicklung mit 

 periodischen Functionen vielfacher linearer oder spharischer 

 Distanzen multiplicirt. Man erfahrt auf diesem Wege die Exi- 

 stenz nicht allcin der periodischen Reihen mit einem variabeln 

 Argument, sondern auch soldier von doppelter Mannigfaltigkeit 

 und zwar von spharischem Charakter. Im allgemeinen Fall /ji. :> 

 kann folgendes als das Hauptresultat der sparischen Unter- 

 sucliung bezeichnet werdcn. Es existiren auf der Kugel vier 

 Hauptentwicklungen einer Function, welchen unendliche nahe 

 reelle Umkreisungen von vier Ausnalnnepunkten , ausgefuhrt 

 unter Zubilfenahme quadratischer Oberflachenelemente , zu 

 Grunde liegen. Als Ausnalmiepunkte werden die vier Beriihrungs- 

 punkte von variabeln urn einen Anfangspunkt construirten und 

 von festen mit dem spharischen Radius 6 um einen Punkt 3- <p 

 gezogenen Kreisen gevvonnen. Je nach der inneren oder ausse- 

 ren liierbei stattfindenden Beruhrung kommen andere Hilfsinte- 

 grale in Betraeht und liegen die die Reihenentwicklung gestatten- 

 den Ausnahmewerthe in verschiedenen Halbkugeln. Die 

 Betrachtung ist bedeutend abzuandern , wenn in der Grenze 

 6 = oder =n und ebenso wenn 3=0 oder=^ wircl ; es 

 erkljirt dies die Schwierigkeit, welche dem Uebergauge vom spe- 

 ciellen Falle der Functionsentwicklung Dirichlet's zu den 

 allgemeinen Voraussetzungen entgegensteht. Zwar befolgt die 

 Abhandlungim wesentlichen den Gedankengang Dirichlet's; 

 aber einmal sind statt zweier unabhangiger Hilfsintegrale deren 

 vier in Rechnung gezogen, sodann wird auch die sphiirische 

 Aufgabe auf die ihr zu Grunde liegende, von der linearen durch- 



aus verschiedene Normalform- zuriickgeftihrt. Erst hieraus wird 



die Bedeutung des Reductionsfactors -4=j von spharischem 



auf das plane Problem klar ersichtlich , sowie diejenige der 

 Multiplicatoren M, welche der Function unter den Integralzeichen 

 beigegeben werden mitssen, damit diese im Resultate sich isolire. 

 Nachdem iibrigens die Abhangigkeit der Entwicklungen nach 

 Kugelfunctionen von der periodischen Reihenlehre hervorgeho- 

 ben worden, entfiel die Nothwendigkeit, ihre Convergenz und 



