130 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



les deux équations principales aux différences ordinaires, 



feront 



• Ad y'' — Bdxdy + Cdx'^ z=. o, 



Adpdy -4- Cdqdx -+- Ddxdy z=z O. 

 Si , pour abréger , l'on exprime par k Si. k' les deux 

 valeurs de k que fournit l'équation algébrique 

 Ak' — Bk -h C z:z o , 



la première de ces deux équations donnera les deux 

 fplutions fuivantes : 



dy — kdx z=z o, 



dy — k'dx ==z o, 

 dont les intégrales feront 



y — kx rrr a, 



y — k'x Hz: a' ; 

 & l'on voit d'abord que les deux quantités qui feront fous 

 les deux fondions arbitraires de l'intégrale finie , feront 



y — kx Si. y — k' x. > 



Afluellement , û l'on emploie la première de ces folu- 

 tions , & qu'on l'introduife dans l'autre équation aux 

 différences ordinaires , elle deviendra 



Akdp -f- Cdq -4- Dkdx z=. o, 

 dont l'intégrale eft 



Akp -+- C q -+- Dkx z=z b; 

 donc une des intégrales premières de la propofée , eft 



Ak p ~+- Cq -^ Dk X z=:q>' (y — k x). 



En employant la féconde folution , au lieu de la première, 

 on auroit eu pour autre intégrale 



Ak'p ^ Cq -i- Dk'x =^V (y — k'x). 



Chacune de ces intégrales premières étant linéaire, on 

 peut encore l'intégrer par Je procédé de ïartule 111 ; en 



