DES Sciences. 133 



'dont l'Intégrale finie, trouvée par M. Euler, eft 



^ <P (x -^ y) — X ç' (x -H y) 



■ '\'(x — y) — -v-IY-v — y), 



& dont les Géomètres ont coutume de dire qu'elle n'a 

 point d'intégrale première. 



Les équations aux différences ordinaires que la méthode 

 donne pour ce cas , font 



^.v' — Jy"" -zzz o, 



7 ; / / ipdxdy 



dpdy dqdx z=z / 



la première a deux racines inégales , d x H— d y :r=: o , 

 & dx — dy rzr o, dont les intégrales complètes font 

 X H— / :=r a, ^ X — y z=z a' : elle indique donc 

 d'abord que les deux fondions arbitraires qui complètent 

 l'intégrale finie , font compofées des quantités différentes 

 (x H- y), & (x y). 



Prenons enfuite une de ces racines , par exemple, 

 <^x — dy zrr o, l'autre équation devient par-là 



dp - dq ^ ^ , 



& c'eft cette équation qu'il faudroit intégrer pour arriver 

 à l'intégrale première de la propofée. 



On a objeélé que cette équation étoit impoffible , parce 

 qu'étant à trois variables , elle ne fatisfait pas à l'équation 

 de condition , pour l'intégrabilité. Nous répondons que 

 cette équation , confidérée feule , n'a pas lieu , & qu'elle 

 eft étrangère à la queftion ; elle n'a lieu que conjointement 

 avec l'autre dx — dy = o , & on doit la regarder 

 comme provenant d'une troifième qui auroit été réduite 



par le moyen de la première dx J7 ::=r o , & dont 



i'intcgrale feroit poffible. En effet , on peut ajouter à cette 

 équation la quantité a(dx — dy), qui eft nulle, en 

 vertu de l'autre , puis ajouter & retrancher la quantité 

 k (d X -t- dy) , ik. cette équation devient 



