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XVI. 



Les deux witégrales premières (A) & (B) , que l'on 

 vient de trouver , n'étant pas linéaires , ne peuvent pas 

 être traitées par la méthode dont il s'agit dans ce Mémoire : 

 mais fi au lieu de l'une d'elles , on prend les deux équations 

 fimultanées qui la repréfentent , on en tirera pour f & 

 pour q des valeurs qui, fubftituées dans d-^ zz:.pdx -|— qdy, 

 donneront une équation aux différences ordinaires , dont 

 l'intégrale fera , en quantités finies , celle de la propofée. 

 Par exemple , les deux équations fimultanées qui repré- 

 fentent l'équation (A) , donnent 



p = x[^"(x-V-y) — -{"{x—yJ], 

 q = x[<p"fx-i-yj - 4,Cx — yj] — ^' fx —y) 

 -+- .X X -Y (x — y) ç' (x -V-y). 



& par conFéquent 



di zzz X <p" {x -f- yj fdx -+- dyj dy(f>' ('x -+- y) 



— x\" (dx — dy) dy-\f' (x — y); 



qui , en ajoutant & retranchant 



dx<^' (x -\- y) ~Jt- dx-y{x yJ, 



devient la différentielle exacHie de l'équation 



l ^ ^ (x - y) - :( ^' (x - y) S 

 intégrale finie & complète de la propofée. 



XVII. 



Nous difons que les deux équations fAJ & {BJ font les 

 intégrales premières de l'équation aux différences fécondes, 

 II. parce qu'elles ne contiennent plus de différences par- 

 tielles du fécond ordre, & qu'elles renferment chacune 

 une fondion arbitraire , qui rend leur généralité auffi grande 

 que celle de la propofée j 2° parce que c'eft à l'une ou à 



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