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en avoir deux pour que les deux intégrales premières 

 puilTent être exprimées chacune par une équation unique 

 de la forme 



dans laqjLielle U Si Ffoient toutes deux compofces de x , y, 

 Z< Pi y/ mais, dans ce cas même, il ne fera pas néceffaire 

 d'en avoir deux pour que les intégrales premières foient 

 expreifibles analytiquement , & fouvent lorfqu'une feule 

 des équations aux différences ordinaires fera intégrable , il 

 fera poiïîble de repréfenter chacune des intégrales pre- 

 mières par le fyflème de deux équations fimultanées, dont 

 l'une fera deftinée , dans certains cas, à éliminer une indé- 

 terminée , & dans d'autres , à déterminer la forme d'une 

 fondion furabondante. Nous aurons, un peu plus loin, 

 l'occafion d'éclaircir cela par un exemple. 



Nous ne nous permettrons plus qu'une feule remarque, 

 qu'il eft néceffaire de taire pour ne pas tomber dans de 

 grandes erreurs. 



XXII. 



Lorfque des deux équations aux différences ordinaires 

 întégrables , & qui font d'abord toutes deux du fécond 

 degré , l'une ne s'abaiffe pas au premier degré en vertu 

 de l'intégrale de l'autre ; leurs intégrales ont chacune deux 

 feintions, 



v — ' ( P^^"" ^^ première. 



jj, _ ;- ( pour lîi féconde, 



qui donneroient quatre combinaifons , deux à deux , & par 

 conféquent quatre équations qu'on pourroit d'abord regarder 

 comme les intégrales premières de la propofée. De ces 

 quatre équations , il n'y en a que deux qui appartiennent à 

 la propofée , & qui la repréfentent chacune complètement; 

 les deux autres font, pour ainfi dire, étrangères à la queftion , 



