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arrivera , après un certain nombre « d'opérations , à une 

 équation différentielle linéaire de l'ordre m -+- 11. Cette 

 équation aura un nombre m -\- n d'intégrales premières 

 polfibles , dans chacune defquelles la conftante arbitraire 

 fera linéaire; li ion en trouve feulement un nombre m, 

 & qu'entre ce nombre m d'équations Se les autres dont le 

 nombre ell encore n , on élimine les quantités 



on aura en x, y, & confiantes arbitraires, l'intégrale finie 

 & complète de la propofée. 



11 efl: facile de voir que la même chofe auroit encore lieu , 



Îuand même la propofée ne feroit intégrable qu'au moyen 

 es logarithmes & des arcs -de- cercle ; en forte quelle 

 procédé que nous venons d'expofer contient la méthode 

 d'intégrer toutes les équations élevées dont les intégrales 

 font exprelfibles en quantités finies. 



X L I I. 



Tout ce que nous venons de dire, peut s'appliquer aux 

 équations aux différences partielles. En effet , lorique les 

 foncflions arbitraires qui fe trouvent dans une équation in- 

 tégrable font toutes linéaires , & que les quantités qui en- 

 trent fous les fondions font toutes données immédia- 

 tement, l'équation qu'on obtient en faifant évanouir les 

 fondions arbitraires, efl elle-même toujours linéaire. Mais, 

 1." fi les fondions arbitraires font élevées n différentes 

 puiffances dans les différens termes de l'intégrale; 2." fi les 

 quantités , fous les fondions , ne font données que par 

 d'autres équations dans lefquelles elles fe trouvent encore 

 fous des fondions arbitraires , & que dans ce cas elles ne 

 foient pas linéaires par-tout , l'équation aux différences par- 

 tielles , qui énonce la même chofe que l'intégrale , efl tou- 

 jours élevée. 11 y a donc deux efpèces d'équations aux diffé- 

 rences partielles qui ne font pas linéaires : les unes ont pour 



