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pafce qu'il ne renferme pas de confiante arbitraire; donc, 

 la véritable intégrale de cette équation eft le fyftème des 

 deux équations funultanées AT ^=. a , y -zzz ^; c'eft- à-dire, 

 que l'équation dont il s'agit n'appartient pas à une ligne 

 courbe , mais à un point unique quelconque , pris fur le 

 plan des x , y. Il y a donc cette différence entre les 

 équations linéaires du premier ordre à deux variables , 

 & la feule équation de cet ordre qui foit élevée , que 

 les premières appartiennent toutes à des courbes , & que 

 i'intégrale de chacune d'elles eft une équation unique , 

 complétée par une feule conftante arbitraire ; tandis que 

 la dernière appartient à un point , & que fon intégrale 

 eft le fyftème de deux équations finies fimultanées , & 

 complétées par deux arbitraires. 



La propriété de l'équation aux différences ordinaires 

 élevées , du premier ordre Se à deux variables , avoit 

 déjà été obfervée ; mais comme cette équation eft unique, 

 on l'avoit regardée comme une exception à la règle 

 générale , & l'on n'avoit pas remarqué que c'étoit le 

 commencement d'une chaîne immenfe , à laquelle tenoient 

 les plus grandes difficultés du calcul intégral. En effet , 

 parmi \qs équations aux différences ordinaires à trois 

 variables , celles qui fatisfont à la condition que j'ai 

 rapportée dans l'article précédent , & qui eft connue fous 

 le nom de condition d'intégrabilité , appartiennent toutes 

 à des furfaces courbes , & l'intégrale de chacune d'elles 

 eft une équation unique , complétée par une feule conftante 

 arbitraire ; mais toutes les équations qui ne fatisfont pas 

 à cette condition , font en nombre infini , & elles n'appar- 

 tiennent pas à des furfaces ; leurs lieux font des courbes 

 à double courbure , tracées dans l'efpace , & l'intégrale de 

 chacune d'elles eft le fyftème de deux équations fimul- 

 tanées. Enfin , parmi ces équations , il n'y en a qu'une 

 feule , 



M'-dx'"" -H iW/'" -H P^-di'"" = 0, 

 Méni. J/S^, Sff 



