53^ MÉMOIRES DE l'Académie Royale 

 elle appartient à une courbe à double courbure , qui peut 

 être déterminée par une feule équation différentielle , mais 

 <jui ne peut être exprimée en quantités finies , que par le 

 lyftème de deux équations fimuitanées. 



Des Equations aux diffcreiices ordinaires élevées du fécond 

 ordre , è^ pour un nombre de variables plus grand 

 que deux. 



XXI. 



Dans le Mémoire que j'ai donné fur les développées 

 des courbes à double courbiu'e , imprimé parmi ceux des 

 Savans étrangers, tomeX, j'ai fait voir, i." que, quoique 

 chaque courbe eût un nombre infini de développées , elle 

 n'avoit cependant , pour chacun de {qs points , qu'un feul 

 rayon de courbure ; x° que lorfque la courbe étoit à 

 double courbure , la fuite des centres de courbure formoit 

 ime ligne courbe qui n'étoit pas une des développées; 

 3." que x,y, 3, étant les coordonnées rectangulaires d'un 

 point de la courbe , l'expreffion du carré du rayon de 

 coiu-bure pour ce point , en ne faifant nulle aucune diffé- 

 rence féconde , étoit 



( (dxddy — dydds)\ 



(dx' ^- df + dî-)' : I -H (d-iddx — dxddi)\ 



( -+- (dyddi dlddy)\ 



Si donc on vouîolt avoir l'équation différentielle de 

 toutes les courbes à double courbure , dont le rayon de 

 courbure eft confiant , il faudroit égaler l'expreffion pré- 

 cédente à une confiante a, ce qui donneroit 



f (dxddy — dyddx/", 



(A) (dx H- df -\- di'P = ^'1 -f- (diddx — dxddi)\ 



l _H (dydd:^ _ diddyf, 



équation élevée , du genre de celles que l'on regarde ordi- 

 nairement comme abfurdes , & qui cependant exprime 



une 



