JJO MÉMOIRES DE l'AcaDÉMIE RoyaLE 



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Ces deux derniers théorèmes fe démontrent comme 

 le premier. 



Conclusion. 



On voit donc, i." que les équations aux différences 

 ordinaires fécondes , qui ne fatisfont pas aux anciennes con- 

 ditions d'intégrabilité, & par une analogie évidente celles 

 des ordres fupérieurs, n'énoncent rien d'abfurde; qu'elles 

 font fufceptibles d'une véritable intégration , & que leurs 

 intégrales font complétées par des fonflions arbitraires ; 

 2." que celles de ces équations qui ne renferment que trois 

 variables , appartiennent à des coin-bes à double courbure, 

 dont elles expriment la génération ; & c'eft lorfque cette 

 génération ne dépend pas leulement de quelques points 

 donnés à volonté , mais de courbes prifes arbitrairement, 

 que les intégrales de ces équations différentielles font 

 complétées par des fonélions arbitraires. 



Des Equations aux différences partielles du prefiiier ordre, 



XXXI. 

 On a déjà vu qu'étant propofée une équation aux dif- 

 férences partielles du premier ordre, Se à trois variables, 

 repréfentée par V ^=: o , ù l'on fubflitue dans cette équa- 

 tion pour p ou t], pour^, par exemple, fa valeur prife 

 dans l'équation di i^ pdx h- qdy, & qu'on élimine tj 

 du réfultat, au moyen de fa différentielle prife en regar- 

 dant q comme feule variable , on aura une équation aux 

 différences ordinaires U =z o. qui en générai fera élevée. 

 On a vu pareillement que fi l'intégrale complète de l'équa- 

 tion aux différences ordinaires elt le réfultat de l'éliminatiou 

 de 0. entre les trois équations 



