552 MÉMOIRES DE l'AcADÉMIE RoVALE 

 appartient à une tiirface courbe; & il y a un nombre 

 iarini d'cquatioifs aux différences partielles qui appartien- 

 nent à des courbes à double coui-biire, & dont l'intégrale 

 ne peut être exprimée que par le fyilème de deux équa- 

 tions fimuitanées, entre lelquelles il n'y a riea à éliminer, 

 ou par le Tyilème de trois équations, entre lefquelles il 

 faut éliminer une indéterminée , comme je vais le faire 

 voir dans l'exemple fuivant. 



Soit propofé d'intégrer l'équation 



p — Ay =z 1^ {(/ H- AxJ, 



dans laquelle A e(l une confiante, & où (p eft une fonélion 

 arbitraire- 

 Ce que cette équation a de remarquable , c'eft que (r 

 l'on fait A = o , elle devient p ■:= (p ç , qui appar- 

 tient à toutes les furfaces développables, & dont l'intégrale 

 eft connue; tandis que h on lai(îè fubfifter A, elle n'appar- 

 tient plus à une furface courbe, mais à une courbe à 

 double courbure. 



En efîèt, foit fiit, pour abréger, 



<2 -{- A\ = a., 



ce qui donnera 



p A y z=: (psL. 



Il eft clair que la quantité * eft une indéterminée fur la 

 valeur de laquelle rien ne doit être prononcé , & qui eft 

 deftinée à difparoître par élimination. SI l'on fubftitue 

 pour jp & ^ les valeurs précédentes dans (J^ z=z pdx h— ^cfy, 

 on aura 



Jl n: w'.vtpa -+- o-dy A (sdy ydx). 



Afluellement , fi cette équation aux différences ordinaires 

 étoit intégrable en regardant a. comme conftant , & fî 

 fon intégrale complétée par une fonflion arbitraire de a, 

 étoit M z=: o, il eft évident, par les principes de ce 

 genre de calcul , que l'intégrale complète de la propofée 



îeroit 



