554 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 

 courbure , à laquelle appartient l'équation aux différences 

 partielles. 



Parmi les équations aux différences partielles , il y en 

 a donc qui appartiennent à des courbes à double courbure; 

 leur intégrale finie ne peut être exprimée que par le fyf- 

 tème de deux équations entre lefquelles il n'y a rien à 

 éliminer, & cette intégrale eft complétée par une fonélion 

 arbitraire de deux quantités, ce que les Géomètres ne 

 s'étoient encore permis que pour les intégrales des équa- 

 tions à quatre variables. 



Comme la conciufion précédente efl extraordinaire, je 

 vais la vérifier de plufieurs manières. 



i.° Si, dans l'intégrale, on flut A =z o, l'équation fC) 



donne •\,' = o , ce qui indique que ia quantité — n'entre 



pas dans la fonction 4-; ''^"if' cette intégrale fe réduit aux 

 deux équations 



Z '^ x<p et -\- tty -+- 4/0, 



^•(p'ct. H— y -+- 4''* ^— ^ °' 



qui font l'intégrale connue de l'équation p rrr <^ij, que 

 i'on obtient en failant de même dans la propofée A -s o. 

 2." Si i'on diflérencie l'équation {AJ en regardant * 

 comme confiante, ce qui eft permis en vertu de (Bj, on 

 trouve 



p = (pa. ~^-\,' f-^, aj, 



^ = «- H T'^C'T ' '^^'' 



fi l'on fubftitue pour ^' , fa. valeur , prife dans {CJ , on a 

 p z=i (^ a, -\- Ay , 

 ^ zrz oL, — Ax ; 

 & enfin, éliminant a, on obtient 



p — Ay z^ <p (q -\- Ax) jf 

 q\ii eft la propofée. 



