5^4 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



une fonfliou arbitraire de * , fût Af r= o, l'intégrale 



finie demandée feroit ie réfultat de l'élimination de a. 



entre les deux équations M ■=: o, (— — y) rrz o, & 



cette intégrale appartiendroit à une furface courbe. Mais 

 la dernière équation aux différences ordinaires n'eft pas 

 intégrable en regardant * comme confiante; & pour qu'elle 

 le devînt, il faudroit encore regarder x ■ — y(p'<i comme 

 confiante ; donc je pourrai l'intégrer dans cette double 

 hypothèfe , & alors il faudra , i ." compléter l'intégrale 

 par une fonélion arbitraire des deux quantités regardées 

 comme confiantes dans l'intégration ; 2.° exprimer par 

 deux équations , que ces deux quantités n'ont pas varié, 

 ce qui donnera 



Z=ZAX -h- y(pa, H-". ^j^ [ fx — y<Jf'o.), a. ] 



.V -i- y<f'a, — y (p" a.-\>' ~\- 4" = o .' 



\' > 



-r V( - fa) ' 



donc l'intégrale finie de la propofée efl le réfultat de l'élî- 

 mination de «. entre les trois équations précédentes, dont 

 la féconde efl la difFérentieiie de la première , prife en 

 regardant a. comme confiante, & dans lefquelles (f> efl une 

 fonélion arbitraire d'une quantité , ^ efl une fonélion 

 arbitraire de deux quantités , & 4' > 4" ^o^^ ^^^ coéfficiens 

 de Jii & Jv dans la différentielle de 4^ (^«> vj. Ainfi la 

 propofée appartient à une courbe à double courbure. 



XXXIX. 

 ' Exemple III. Soit propofé 



Ar H- B^ -h z = o« 

 dans laquelle A Si. B font des confiantes. 



Je fubflitue pour r fa valeur dans Jp = r<Jx •+- s<i^, 

 & je trouve 



Adp -{^ (Bq -\- z) dx ■=. As du 



