' DESSCIENCES. Jfîp 



les racines de la première font 



dy — kdx zz=. o , & dy -J— k' Ax z=. o , 



A 8c k' étant les racines de l'équation algébrique 



Ak' — Bk -^ C = o; 



ainfi , en employant la première racine , & l'introduifant 

 dans l'équation ( CJ , les deux équations aux différences 

 ordinaires fimultanées deviennent 



(D; dy — k d X = o, 



(E) A (dp -H Kdq) + dx(Dp -^ Eq-\- F) zzz O. 



Ce font ces deux équations qui doivent donner une des 

 intégrales premières de la^ propofée. 



L'intégrale de l'équation (D) eft^ — k x m a, ot étant 

 ia confiante arbitraire ; fi celle de l'équation (E) étoit 

 M = C, l'intégrale première feroit M = <?«.; mais, 

 i.° l'équation fEJ n'appartient pas en général à une furface 

 courbe , & fon intégrale ne peut être une équation unique 

 que dans le cas où les coéfîiciens de la propofée fatisfont 

 à l'équation 



CD'- -f- AE" = BDE; 



dans tous les autres cas , l'intégrale de l'équation aux diffé- 

 rences ordinaires (EJ , confidérée indépendamment de 

 l'équation (D) , ne peut être exprimée que par le fyftème 

 des deux équations fimultanées 



A (p -+- K q) -f- (f .V = o , 

 <p' .V = Dp -\- Eq -^ F; 



i.° l'équation (E) ne doit pas être confidérée feule, & 

 fon intégrale doit être prife en fuppofant que l'équation 

 (D) aXt lieu, c'efl-à-dire , que a. foit confiant; donc cette 

 intégrale doit être complétée, non pas par une fonélion de 

 X feulemeixt , mais par une fonélion de x & de «. ; donc 

 Mém. ij8^. C c c c 



