570 MEMOIRES DE l'Académie Royale 

 la forme fous laquelle fe préfente d'abord l'intégraie pre- 

 mière de la propofée , eft le fyftème des deux équations 



(F)A(p -t- k'^) -\- (ç(x,y — kx) = o, 

 fGJ'p'fxj— kx) := Dp -H E^ -h- F. 



dans lefquelles (p eft une fondîon arbitraire de deux quan- 

 tités , &: où cp' eft le coefficient de du dans la différence 

 de <p (u, v)> 



Cette intégrale fe vérifie par la différenciation ; d'ailleurs 

 fi l'on fait D =:: o , E = o , F = o , la propofée 

 devient 



Ar ~{- Bs -i- Cf z=z o, 



& l'équatîon {GJ donne <p' (x,y — kx) z=z », ce qui 

 exprime que la fonction cp, n'çjft compofée que de la feule 

 quantité y — k x; donc alors l'intégrale première fe réduit 

 à l'équation unique & connue 



A (p -+■ k! q) -H <p (y kx) z=z O. 



Des deux équations (F), (G) on tire les-v«Ieurs fuivantes 

 de ^ & de ^ , 



j,(Dk' — E) = ~ (^ (x,y — kx) 



— k'[F — <f'(x,y^kx)l 



^(DK — E) z=z ^ (p (x,y — kx) 



-h- F — (p'{x,y — kx); 

 & en les fubftituant dans Jz z=. pdx -+- qdy, on trouve 



^(H)di(Dh! — E) ■= -^ (Edx — Ddy) 



^ (F — <p')(dy — Kdx), 



équation aux différences ordinaires , qui exprime feule 

 la même chofe que la propofée , & qui eft une de {qs 

 intégrales premières , complétée par une fon<îtion de deux 



