57^ MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



en opérant enfuite comme nous avons fait, on trouve que 



l'intégraie complète de la propofée eft le fyftème des deux 



équations 



Z ■=! 'jc (y — kx, y — K x), 

 (kD — E)'k' -\- (KD — E)^" ^ 



A J 



dans lefquelles -tt eft une foncflion arbitraire de deux 



quantités , où -tt' & -tt" font les coéfficiens Ae d u , d v 



II 

 dans la différentielle Ae it (u , v) , &i.o\i it' eft la moitié 



du coefficient de dudv dans la différentielle féconde de 



la même fonction. 



Comme l'équation d'une furface courbe quelconque 



peut toujours .être mife fous la forme 



l ^=: '?( (y — kx, y — k'x), 



il s'enfuit qu'il n'y a aucune furface courbe fur laquelle 

 on ne puiffe tracer une des courbes à double courbure 

 qui fatisfont à la propofée ; &: lorfque la fonflion -tt eft 

 telle que la féconde équation eft naturellement fatisfaite , 

 l'équation de la furface eft elle-même un cas de l'intégrale 

 complète , parce qu'alors la furface eft toute compofée de 

 courbes qui fatisfont à la propofée. 



Ce que nous venons de dire fur cet exemple doit auflî 

 s'appliquer aux autres cas que nous avons traités dans le 

 Mémoire précédent. Par un femblable raifonnement, on 



trouve que pour 1 équation r — / — z=z o , de 



l'article XV du Mémoire , l'intégrale première complète 

 eft l'équation aux différences ordinaires- 



di + dy(p(x,y — x) \ , ^ "?' ('^'y — x) z=z o, 



où tp eft ujtte fonflion arbitraire de deux quantités, &où $' 



