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eft le coefficient de du dans la différentielle de <p (u, vj. 

 Enfin l'intégrale finie eft le fyftème des deux équations 



Z = ■\> (x -\- y,x — ;-;, 

 -^' -H '\J' =rz z X •]^' , 



dans lefquelles -]/ eft une fonflion arbitraire de deux quan- 

 tités, où ■\'', 4" font l^s coéfficiens de Au, Jv dans la 



différentielle de <p fii, v) , & où 4-' eft la moitié du 

 coefficient de dudv dans la différentielle féconde de la 

 même fianflion. 



Conclusion générale. 



Il réfiilte de ce fiapplément : 



I.'' que les équations aux différences ordinaires, pour 

 îefquelles les conditions d'intcgrabilité ne font pas fatis- 

 faites, ne contiennent rien d'abfiarde, ni d'impoffible , &: 

 qu'elles font fiifceptibles d'une véritable intégration en 

 quantités finies. 



2." Que les intégrales de ces équations font complétées, 

 par des fondions arbitraires de quantités variables , fonc- 

 tions que l'on n'avoit encore empioyées que pour les 

 intégrales des équations aux différences partielles. 



3.° Que les conditions d'intcgrabilité ont feulement 

 pour objet d'indiquer le nombre àes équations dont l'in- 

 tégrale finie doit être compofée , toute élimination d'indé- 

 terminées étant fuppofée faite. 



4.° Que les intégrales du plus grand nombre des équa- 

 tions aux différences partielles ne font pas fufceptibles 

 d'être exprimées par une feule équation , même en fup- 

 pofant que l'élimination de toutes les indéterminées foit 

 faite; c'eft-à-dire, par exemple, que dans le cas de 

 trois variables , le plus grand nombre des équations aux 

 différences partielles appartient à des courbes à double 

 courbure, & non pas à des furfaces courbes, ce que toutes. 



