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DES Sciences. 4pp 



Soit , par exemple , la quantité 



_t_ A x' -j- Bx^ ~h Ca-' -+- Dx' + Ex H- F, 



qui ait poui" facleurs fimpies 



X -{- A, X -h- Q, X -+- y, X -\- S^, X -i- i, X -]- (^; 

 & fuppofons qu'on veuille d'abord lui donner ia forme 



fx^ -+- ax'' -+- bx -H f/ (px'' -+- qx -\- ?■/, 



ou la décompofer en deux faéleurs du troilième degré. 



a' —h rtx^ -t- ^x -f- r ;<■' -f- d.v^ — t- ^.v -}- c 



-f- /> -4- ^r + /•. — p — q — f' 



Sans chercher par l'élimination les équations qui détermi- 

 neroient a, b , c, p, q, r, on peut juger d'avance du degré 

 & de la forme de ces équations. En effet, pour nous 

 borner aux coéfficiens bh.q, on auroit, entr' autres valeurs, 



b —\- q 33 ctb — f- «cy — 1— Zy, 



b q z=. S^i -t- J^^ -t- e^' 



ou 



7.b ■=. (a.S -h- a-y ■\- CyJ -H {^i -+- J^Ç -h iCj, 

 2q z= (a.Ç, _i_ «,y -H Qy) (^^ -t- <^l^ -h iQ- 



Et comme on peut faire à volonté la permutation àes 

 quantités et, C, y, J^, e, ^, il efl clair que l'équation qui 

 détermine 2 ^ eft du dixième degré , & celle qui déter- 

 mine 2 ^ du vingtième. La dernière ne contenant que des 

 puiflânces paires de l'inconnue , fi on fait 2 b z:zl y & 

 4 q^ z=. i, les équations en ;» & ^ feront l'une & l'autre du 

 dixième degré: de plus, comme les coéfficiens A, B, C, &c, 

 font des entiers, il faudra que ceux des équations en ^ & ^ 

 le foient auffi. Donc fi ^ & ^ font rationnels, ce feront des 



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entiers; & comme p", q'', r' tiennent lieu de na' ,nU , ne' , 

 il faudra que b &. b' foient des entiers ou des fraélions^ 



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