514 Mémoires de l'Académie Royale 

 il étoit parvenu. À la vérité, M." Euler & de la Grange, 

 qui n'ont pas dédaigné ce genre de recherches , ont 

 démontré la plupart de ces théorèmes , & ont même 

 fubdiiué des théories très-étendues aux propofitions ifolces 

 de Fermât; mais il en eft plulieurs qui ont réfifté à leurs 

 efforts , foit que Fermât n en eût pas réellement une dé- 

 monflration lolide, ce qui eft difficile à croire, foit que 

 l'inflrument pour y parvenir nous foit encore tout-à-fait 

 inconnu. Parmi ces propofitions non démontrées, on doit 

 remarquer fur-tout les deux fuivantes : tout nombre ejl 

 composé de trois triafigiilaires au plus : tout nombre premier de 

 la forme 8 n — \, efl de hi forme p' H- q' -+- 2 ^^ 

 ou, ce qui revient au même . fon double eft la fomme de trois 

 carrés. Mais j'obferve à l'égard de celle - ci , qu'elle ne 

 caraflérife nullement les nombres premiers de la forme 

 8 n — I, car il n'eft aucun nombre impair, fimple on 

 compofé , qui ne foit de la forme mentionnée , & même 

 qui ne foit à la fois des deux formes p'' ■\- (]^ H— t''^ 

 f^ -^ (]' -4- 2. r^, excepté feulement les nombres (pre- 

 miers ou non) de la forme 8 n i, qui ne peuvent 



être de la première forme p'' -+- ^* -f- r% mais qui 

 font toujours de la féconde ^^ H— (]'' -+- 2 r*. Néan- 

 moins la propofition de Fermât feroit d'autant plus inté- 

 relTante à démontrer, qu'il en réfulteroit, d'une manière 

 fort direéle , que tout nombre eft la fomme de quatre 

 carrés : en effet , les nombres premiers 8 n — 3 font de 

 la forme p'' -+- ^^ les nombres premiers 8 n -+- 3 font 

 de la forme ;;* H— ^ ^'', les nombres premiers 8 h -f- i 

 font à la fois àes deux formes p' -f- q^ , p^ H— 2 ^*. 

 Ces propofitions font connues & démontrées : fi donc les 

 nombres premiers 8 « — i font de la forme p^ H— q'' 

 H- 2 r\ il s'enfuivra qu'un nombre quelconque eft la fomme 

 de quatre carrés au plus; car on fait d'ailleurs que le produit 

 à^s deux formules a'' H- h^ H— f* -H d^ , & p'' -4- q* 

 -' -I— j*, eft également la fomme de quatre carrés. 

 Au refte , il n'y a pas de doute que tout nombre ne 



