54^ MÉMOIRES DE l'Académie RorALE 

 Remarque II , fur les Nombres en général. 



ip." Il ne feroit pas difficile de prouver par des rat- 

 fonnemens femblables aux prccédens , qu'un nombre 

 impair quelconque eft ^toujours divifeur de quelqu'une des.-, 

 formules prifes dans — i .!.bles. On peut même démontrerV 

 qu'il eu divife une infinité dans- chaque table : car il y aj 

 une infinité de nombres premiers compris dans la formule» 

 2.nx -+- 1», c & 2« étant premiers entr'eux, & x étant 

 inie indéterminée. 



Cela pqfé, i.° fi P eft de la forme 4;; -f- i, & 

 qu'il divife une formule f" -h- au de la première table, 

 on conclura que P ell la fomme de trois carrés. Donc tout- 

 nombre de la forme 4 n — i— i ejî la fomme de trois carre's. 



2." Si M eft un nombre impair quelconque, & qu'il 

 divife une formule f ->r- hu de la table III, il faudra, 

 par la propriété de cette table (sj), que M foit la demi- 

 fomme de trois carrés. Donc le double de tout nombre impair, 

 efl ta fomme de trois carre's. 



Ces deux propriétés font confirmées par la table II; car 

 fi le nombre P de la forme 4» — f- i , divife une for- 

 mule ;' — H au^ de cette table, le nombre P &l fon double 

 feront tous deux la fomme de trois carrés, (art. 21). 



Quant aux nombres de la forme 4/; — i , ils fe di-vî- 

 fent en deux clafTes, le§ uns de ia forme 8n — i, \ts 

 autres de la forme 8. «.'-7Jr-..3ii ceux-ci font toujours la 

 /omme de trois carrés Impairs, ce qui revient à dire que 

 tout nombre eft compofé de trois triangulaires. Mais il eft 

 fingulier que cette propofition de Fermât ne fuive nullement 

 des propriétés précédentes , & demande une toute autre 

 route pour être démontrée. Cependant, comme perfonne 

 n'en doiite, nous croyons pouvoir établir cette conclufion: 



Tout nombre impair, ef h la fois des deux formes x' -f- 

 y' -f- "t y x" -+- y* — h- 2 -L , excepté les nombres de là 

 formel n - — i qui ne font que de la féconde ; d'où il fuij 

 que, tout nombre ou fou double ejt lafoffime de trois ear[éu - 



