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Autres Théorèmes fur les nombres premiers. 



M. de la Grange a démontré le premier, dans le tome IV, 

 des Mémoires de Turin, que l'équation x"" — cy' -z^z i , 

 c étant un nombre quelconque non carré, eft toujours 

 fufceptible d'une infinité de foiutions en nombres entiers. , 

 Ce théorème a lieu, à plus forte raifon, lorfque c efl un 

 nombre premier; mais les différentes formes de ce nombre 

 donnent lieu à d'autres proportions que nous allons dé- 

 montrer , & qui ont de l'analogie avec celles de no« 

 tables. 



Théorème XII Î. 



30. Si (1 eft un nombre premier de la forme 4» -\- r^ 



l'équation x" ay" ■=. — 1 fera toujours poffibie en 



nombres entiers; d'où il fuit que tout nombre qui eft de 

 ia forme t^ — au' fera auftî de la forme au — f , & 

 réciproquement. 



En effet, foient /j & «7, les plus petits nombres (autres 

 que I & ) qui fatisfont à l'équation p" — a q' -=11 i ; 

 ^ doit être pair, fans quoi aq^ H— i feroit de la forme 

 qn -\- 2 qui ne peut convenir à un carré. On fera donc 

 ■p'' ■ — I nz: 4 rt r^, & cette équation ne pourra fe partager 

 que de ces fix manières, où l'on fuppofe r zzz mit: 





Or , la troifième & la quatrième combinaifon ne peuvent 

 avoir lieu , puifqu'on en tireroit 2 r= «7 ;//' — 4 «' 6c 

 3. z=. m" — 4«^; il faudroit donc que m fût pair, & 

 alors le fécond membre feroit divifibie par 4. La première 

 & la deuxième ne peuvent avoir lieu par la même raifon. 



La fixième donneroit m' . a ti' :=: i ; équation qui 



ne peut avoir lieu , puifque nous avons fuppofé que p ^ q 



