i550 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 

 étoient les plus petits nombres qui fatisfaifoient à l'équa- 

 tion f' — a q" :zz: i , & qu'alors m & /; feroient beau- 

 coup plus petits. Donc il refte feulement la cinquième 

 combinaifon qui donne i ■= an'' — nî", & qui prouve 

 la poflibilité de l'équation x" — - a-f' ■=. — i . Elle fait 

 voir en même temps, comment on déduit les nombres m 

 & » des plus petits de ceux qui fatisfont à l'équation x 

 i— â^*^ =: i; c'eft en failîmt V (p -\~ qVa) —=. m 



H- « /^, o\imz='/f ■ ' ~ ' ), nz=z-/ ( —~-).' 



3 I . Lorfque a n'eft pas premier , mais qu'il eft la fomnne 

 de deux carrés, il peut arriver que l'équation x' — a y* 

 —r — I foit poflible, & cela a lieu dans un grand nom- 

 bre de cas; mais la règle n'eft pas générale, comme 

 fcmble le croire M. de la Grange, tome IV des Mémoires 

 de Turin, page 8 8 , Si. on la trouve en défaut, lorfque 

 a z=z 34, 205, 221, &c. Ainfi, quoique a foit de; la 

 forme /^ -4- g", on ne peut pas dire généyalement que 

 tout nombre de la forme x* — ay' foit en même-temps 

 de la forme a y'' — x^ ; mais cette propofition eft vraie, 

 lorfque a eft un nombre premier; car fi on a .M :=. x* 

 . — a y'' Si. — I ■=.»%' — a n, on en conclut — M 

 • — (x'' — ay'" ) (m — an'' ), produit qui eft, comme 

 on fait, de la même forme que fes fadeurs. 



Théorème ?ÇIV. 



3 2. Si b efl un nombre premier de la forme 8 n -4- 3 , 



î équation bx^ — y' = 2 jera toujours pofihle en 

 nombres entiers. 



Soient toujours p Se q les moindres nombres qui fatis- 

 font à l'équation p^ — ^^^ :z= i. Si ^ eft impair, & 

 qu'on faffe q zzz mn, on aura ces deux combinailons , 



^-^ ■ = *:"■!(.). ^-*-" = f.|w. 



p — l ■=. n y p I = 6« i 



