des Sciences. h* 



Ces deux formules renferment la théorie des interpolations 

 prife avec toute la généralité dont elle eft fufceptible. 



Je dois obfèrver ici que les équations (3), (5), ( Q ) 

 (10), (11) & (12), ont déjà été données par M. delà 

 Grange, dans un excellent Mémoire, qui a pour titre : fur 

 une nouvelle efpèce de Calcul relatif à la différenciation & à 

 l'intégration des quantités variables, & qui eft inféré dans le 

 volume de l'Académie de Berlin pour {'année iyj2. Ce 

 grand Analyfte y eft parvenu au moyen d'une analogie très- 

 remarquable entre les puiffances pofitives & les différences, & 

 entre les puiffances négatives & les intégrales; analogie qu'il fè 

 contente d'obfèrver, mais dont il fembie regarder la démonf 

 tration comme très-difficile (voyci le Mémoire cité , pages 1 86 

 & 1 p ;J;ce(i ce qui m'a engagé à les démontrer ici par une 

 méthode qui , fi je ne me trompe , eft auffi directe & auffi 

 fimple qu'on puiiîè le dtfiier, c< qui de plus a l'avantage 

 de laire voir à priori la raifon de cette analogie fingufière. 



V I I. 



Revenons préfentement au développement des fondions 

 en fuites; mais au lieu de fuppofèr la fonction u donnée 

 immédiatement comme dans l'article II, imaginons qu'elle 

 foit une fonction de x , x étant donné par l'équation aux 

 différences partielles 



(J7S = Z ( — ), 

 dans laquelle 1 eft une fonction quelconque de x; cela 

 polé, pour réduire u dans une fuite ordonnée par rapport 



à a. , il faut (article /."} déterminer la valeur de / — — ) dans 



1 la." ' 



le cas de «. — o; or on a (—) — /— ; /— J 



1 la. ' 1 àx ' * la ' 



— Z (t.) ■ (—)> a cau(e (-ûtJ — Z (-jpj; partant, 



, 9> 



(~ïïJ — ( Ti /' (*) 



Mém. iyjy, P 



