DES SCIENCJÉS. 91 



par la cycloïde CD. Mais fi ia vîtefle à l'origine C doit 

 être conrtante ou zéro, ia courbe Z)/ feulement fera coupée 

 à angles droits , & les tangentes des courbes CE, Dl , aux 

 extrémités C èi. D , feront parallèles. 



Le premier cas n'a pas de difficulté, & l'exîftence du 

 miiiimiiiii fe conclud tout de fuite des formules ci-deiïlis. 

 Il n'en eft pas de même du fécond cas, où ia vîtelfe initiale 

 eft donnée; alors il faut confidérer l'inlluence de la varia- 

 tion du premier point fur toute l'intégrale , ce qui exige 

 un calcul particulier. M. le chevalier de Borda ^ eft le pre- =. j,j- 

 mier qui fe foit aperçu de la différence de ces deux cas, l'yicaJémU, 

 & qui ait donné la vraie folution du fécond; folution que '7^'f- 

 M. de la Grange'' a conclue enfuite de fes formules, en t yv//,„ ^ 

 leur donnant l'extenfion néceffaire. On ne fera peut-être Ti,rin, 

 pas fâché de trouver ici la même propofition démontrée ^""'^ ^^'' 

 d'une manière prefque fynthétique & fort fimple. 



La vîteffe initiale étant due à la hauteur donnée h, qui 

 peut devenir zéro, on a deux chofes à démontrer: i." que 

 ia courbe Dl eH coupée à angles droits par la cycloïde; 

 z." que les tangentes en C Si. D aux courbes CE ôc Dl, 

 font parallèles. 



La première partie ne fouffre pas de difficulté, puifque 

 fi le dernier élément <^Z) n'étoit pas perpendiculaire à la 

 courbe D y, on pourroit lui fubftituer l'élément J^ê, perpen- 

 diculaire à cette courbe , & par lequel le temps feroit 

 plus court. 



Pour démontrer la féconde partie , foit 



'AB = X, C O = B E' = a, A E' = X\ 



B C — Y , O D — y. E' D = Y' ; 



on aura 



A" =: X -^ x,^Y' ~Y -Y- yx 

 $c û les points C &. D paflent en <• & ^/, défignant par la 



