2. MÉMOIRES DE l'AcADEMIE ROYALE 



elles font la folution analytique , préfente alors de grandes 

 difficultés que Ion n'elt encore parvenu à vaincre que dans 

 quelques cas particuliers , dont les deux principaux font 

 relatif:; au produit des nombres naturels i , 2,3,4, &c. & 

 au terme moyen du binôme élevé à une grande puillance. 

 Si l'on fuppofè cette puilîance paire & égale à z s , ce ternie 



r i> r •. 2S.(n— \).(is — z).(zs— 1,). . .(s-*- \) 



fera , comme l on fait , ■ 



Quoique cette expreffion foit fort fimple ; cependant fi s 

 efl très - confidérable , par exemple , égal à dix mille , 

 il devient très-difficile de la réduire en nombres, à caufe 

 de la multiplicité de les fadeurs. M. Stirling efl heureufement 

 parvenu à la transformer dans des fériés d'autant plus con- 

 vergentes , que s efl un plus grand nombre ^Voyez fon bel 

 Ouvrage, de fummatione & interpolalione Serierum). Cette 

 transformation que l'on peut regarder comme une des 

 découvertes les plus ingénieufès que l'on ait faites dans la 

 théorie des Suites, efl fur-tout remarquable en ce que dans 

 une recherche qui femble n'admettre que des quantités 

 algébriques, elle introduit une quantité tranfeendante, lavoir, 

 la racine cariée du rapport de la demi - circonférence au 

 rayon. Mais la méthode de M. Stirling, fondée fur l'inter- 

 polation des Suites, & fur quelques théorèmes de "Wallis, 

 iaîiîe à defirer une méthode directe qui s'étende à toutes les 

 fonctions compofées d'un grand nombre de termes & de 

 facteurs. J'ai donné dans nos Mémoires pour l'année 1778 , 

 page 289 , un moyen général de réduire en feries conver- 

 gentes, les intégrales des fonctions différentielles qui ren- 

 ferment des facteurs élevés à de grandes puilfances: mais 

 occupé d'un objet différent, je me fuis aiors contenté de 

 tirer de cette méthode , les beaux théorèmes de M. Stirling, 

 en me réfervant de la reprendre & de l'approfondir dans 

 un autre Mémoire. De nouvelles réflexions m'ont conduit 

 à l'étendre généralement aux fonctions quelconques de très- 

 grands nombres, & à réduire ces fondions dans des Suites 

 d'autant plus convergentes , que ces nombres font plus 



