6 Mémoires de l'Académie Royale 

 très -convergentes, du produit des nombres naturels 1,2, 

 3,4, &c. du terme moyen du binôme , de celui du 

 trinôme, &c. des différences très -élevées , foit finies , foit 

 infiniment petites des fonctions, ou d'une partie quelconque 

 de ces différences. Enfin , dans ['article IV , je donne la iolution 

 de plufieurs Problèmes intéreffans de l'analyle des hafards , 

 qu'il ferait impofîible de réfoudre numériquement par les 

 moyens connus. 



ARTICLE PREMIER. 



De l' intégration par approximation , des fondions 



différentielles qui renferment des fadeurs élevés 



à de grandes puijfances» 



I. 



Si l'on défigne par u , u , u" , &c. & <p , des fonctions 

 quelconques de x, & par s , s', s" , Sic. des nombres confi- 

 dérables ; toute fonction différentielle qui renferme des 

 facteurs élevés à de grandes puiffances , fera comprife dans 



cette forme, u 5 .u .u" . &c. <pox. Pour avoir en férié 

 convergente, (on intégrale' prife depuis x — 6 jufqu'à x =z G 1 , 



on fera u s . . u . &c. q> zz= y , 6c en défignant par Y ce que 

 devient y, lorfqu'on y change .y en 9, on [uppofeïay — Y.e—', 

 e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique eft l'unité; 



Y 

 on aura ainfi I02. — zzz t. Si l'on confidère x comme une 



6 y 



fonction de t , donnée par cette équation, on aura, en fup- 

 pofant d t confiant , 



. ix /* ù*x i 3 x 3 3 * „ 



x — G + t . — f- r-r H . TT "+" &c * 



3/ 1.2 3/ 1.2.3 01' 



t devant être fuppofé nul, après les différentiations, dans les 

 valeurs de , • -, &c. or, on a généralement 



5/3/ ° 



3" x 1,1,1 . iïx 



zzz — - — ' . a . — r — . a . — r — . . . a . ' 



il" il ii il il 



