692 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
on aura donc 
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expreflion qui coïncide avec celle qu'a donnée M. Euler. 
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Trouver les équations des lignes de plus grande & de 
moindre courbure d'une furface courbe! 
Sozurion. L’équation / D) étant du fecond degré, donne 
pour = deux valeurs, & par conféquent deux équations 
qui appartiennent aux projections fur Île plan de x & y de 
toutes les lignes, l’une de moindre & l'autre de plus grande 
courbure de la furface; en forte que fi l’on veut avoir l’équa- 
tion particulière d'une de ces lignes, il ne s'agira que 
d'intégrer une de ces équations , & de déterminer la conftante 
arbitraire introduite par l'intégration, de manière qu'elle 
fatisfatfe à la condition qui particularife la courbe. 6 
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La valeur de ee qe fournit l'équation / D), con- 
tient le radical y (B° — 4 ay“; ;or il peut arriver que 
la furface courbe foit telle que fa quantité qui eft fous ce 
fighe, foit un carré parfait; alors pour chaque point de la 
furface courbe, la ligne de plus grande & celle de moindre 
courbure, ont chacune leur équation particulière; ce qui a 
lieu pour les furfaces développables dont l'équation efte — 0, 
& pour les furfaces de révolution, comme nous le verrons 
dans l'exemple fuivant. Maïs lorfque la quantité 8° — 4 a 
n'eft pas un quarré parfait, pour chaque point, les deux 
lignes lune de moindre & l’autre de plus grande courbure : 
n'ont point d'équations diftinétes, & font les deux branches 
d'une même courbe élevée, dontle point de la furface courbe 
que l'on confidère eft un point double. 
Exemple. Suppofons: qu'il foit queftion de déterminer les 
lignes de moindre & de plus grande courbure d’une furfacer 
