Fig. 9. 
696 Mémoires DE L'ACADÉMIE RoyALE 
l'expreffion demandée fera m W {1 + p° + g°); refle à 
trouver {a valeur de "1. | 
Pour cela, foit B AC Le plan des x & y, À B Ja ligne 
des x, À C celle des y, Q & g les projeions de deux 
points infiniment proches pris fur la furface courbe, en forte 
que les coordonnées du premier foient À P— x, PQ = y", 
& que celles du fecond foient À p— x + dx, pg=y 
—+- dy'; foient Q M1 & Q N les projections des courbes de 
plus grande & de moindre courbure qui paflent par le pre- 
mier point, ZV g m & M q n celles des courbes de plus 
grande & de moindre courbure qui paflent par le fecond ; 
il eft évident que le quadrilatère Q 479 N fera la projection 
demandée de l'élément. Or, les côtés oppofés de ce qua- 
drilatère peuvent être regardés comme fenfiblement parallèles ; 
donc fi l'on mène la droite Q ”, parallèle à 4 B,& MU 
parallèle à. 4 ©, l'aire de cette projection, en vertu de l’article 
précédent , fera Q F x MU. 
Pour trouver les expreffions de ces deux droites, confi- 
dérons que les élémens des quatre courbes qui terminent le 
quadrilatère, peuvent être confondus avec leurs tangentes ; 
que de plus les inclinaifons des deux tangentes Q 41 & QN 
par rapport à l'axe À P.font données par les racines de 
57 : dy TER, dy pass 
l'équation /D) , en forte que fi re k—0& Pere #—0o 
font ces racines , 4 & 4! font les tangentes des angles quelles 
droites Q A1& Q NN fontavec la ligne des x; donç les équations 
de ces deux droites feront, pour Q 
== (x #), 
& pour Q N 
5 y—y = (4 — x), | 
On aura pareillement les équations des deux droites 7 
& qu,en mettant dans les précédentes, x° + d x' à la place 
de x! & y'-+- dy" à la place de dy'; ce qui donnera pour qu 
r—y — dy = k (x — x — dx), 
& pour g# 
J-f —-dY =K(x — x — dx), 
actuellement 
