D'-ELSLISNICINENÈCLE :< 391 
de ces propofitions, que j'employois dans la fClution à laquelle 
J'avois d'abord penlé, à la feconde dont je n'y faifois point 
ufage, ne fauroit cependant fe faire algébriquement d’une 
manière complète, qu'au moyen d’une tès-longue combinailon 
ou répétition de calculs & réduétions, très-fimples à la vérité 
les uns & les autres en particulier, telle que la luivante. 
Soit O P (fig. r 3) perpendiculaire [ur le plan PRTQS, 
& PQ perpendiculaire [ur RS; foit de plus OT, perpen- 
diculaire {ur la même RS, fuppofée tomber en un point 7 de 
cette dernière droite, différent de Q;'en forte que nommant © P, 
a, PQ, b, & QS, f, on püt avoir 7Q — à une quantité x; 
& on conclura de ces fuppolitions, 1.° par le triangle O PQ 
rectangle en P, OQ@ — aa + bb; 2.° par le triangle 
O QT, fuppolé rectangle en 7, OT? aa + bb + xx; 
3." par le triangle OST rectangle en 7, OS = aa + bb 
— xx + ff + 2fx + xx, & par une première 
réduétion OS — aa + bb + ff + 2fx; 4° 
paï le triangle .O PS rectangle en P, PS = aa + Lo 
+ ff + 2fx — aa, & par une feconde réduétion 
PS = bb + ff + 2fx; 5 par le triangle RSQ 
rectangle en Q, bb + ff + 2fx = db + Me 
746 par une troifième & dernière réduétion, 2fx — o, 
ou x — o; d'où s'enfuivra que nous avions fuppofé mal- 
àä-propos que x füt une quantité, ou qu'il y eût un inter- 
valle x, entre les points 7 & Q, de la droite RTQS, & 
nous pourrons conclure que les points 7°& Q doivent coïn- 
cider, ou tomber exactement L'un fur l'autre. 
Or, ce calcul affez long, y compris fes rédu@tions, & 
fans compter la réduétion de aa + bb + 2ab — ce 
+ 2aben aa + bb — cc, ou quelqu’autre femblable, 
que fuppoleroit d’ailleurs, toute démonfiration de la 47.%° 
d'Euclide , de laquelle on y a fait cinq fois ufage, m'a 
paru en effet propre à m'avoir offert par fa combinaifon avec 
un autre , plus long encore, mais non immenle , le 
réfultat de calcul immenfe dans lequel je m'étois d’abord 
trouvé engagé; & j'ai jugé d’après cela, que c'étoit en même 
