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B C , appartenant à la première ligne , enfuite l'élément 

 C D, parallèle à la féconde, puis l'élément D E, parallèle 

 à la première, & ainfi de fuite , il eft clair qu'on n'en 

 décrira pas moins des efpaces proportionnels à l'ablciffe ; 

 mais (i ces élémens font évanouiflans, le point décrivant 

 s'écartera infiniment peu de la parallèle B G, Se l'efpace 

 fuperficiel A B O P fera évidemment auiïi proportionnel 

 à l'abfcidè, & par conféquent vérifiera la féconde ccndiiiotx 

 du problème. 



Il me refte une chofe très - fmgulîère à remarquer , 

 c'eft qu'Euler a rencontré une de ces fécondes intégrales 

 complettes. 11 fe propofe d'abord d'intégrer l'équation 

 yox — nxdy z=z a V Cà x'' H- ^ y^ ) , l'âge jj8, 

 du piemier volume Je fon Calcul intégral. Il intègre faci- 

 lement cette équation pour plufieurs valeurs de n ; 



mais quand » = i , il trouve , en faifant — ^ ::=: p 



y = p X -h- il V { i -+- p^J, équation qui fe préfente 



naturellement , & ;^ :=: ; — — ''-^ où à 



P 



caufe de « z=: i , il efl évident que i'expofant •- — '• 



eft infini. Euler remarque d'abord que fi on fait C m o, 

 on a AT^ -+- ;>" zzr rf^, mais que fi C n'efl: pas zéro, des 

 changemens infiniment petits dans p opèrent dans .v des 

 changemens finis; & par conféquent on peut donc, pour 

 une même valeur de p, ou des valeurs infiniment peu 

 différentes, obtenir toutes les valeurs de x, <k par conféquent 

 regarder l'équation^ = p x -^ <i V f i h- p^J comme 

 l'intégrale , en faifant p confiant , & le regardant comme 

 l'arbitraire introduite dans l'intégration ; mais il eft clair 

 qu'on peut éliminer p par le moyen des équations com- 



binées y z=z p x -{- a y ( i -i- p' ) Sx. x = — ■■ , • 



