DES Sciences. ^jp 



l'on tire 



d X 'r=z A d p H- B d q 



d y = A' dp -\- B' d q. 

 U vaîeur de d x dans l'élément P d x d y doit toujours 

 fuppofer y confiant , de forte que pour la fubftitution on 

 aura A' d p -j- B' d q = o , on d q — — dp; 



donc dx=z jA-^ dp, & par conféquent fPdx dy 



devient d'abord 



/ J. .Pdpdy: 



ainfi à la place des deux variables x en y , nous avons déjà 

 /> & /. Il faut encore introduire ^ à la place de ;'/ pour cela, 

 obfervons que \q d y de l'élément .^^' — ^'^ p ^^ j^^ 



fuppofe p confiant; on a donc d y =z B' d q , Si. fina- 

 lement le réfultat de la transformation des deux variables 

 fera 



f (A B' -. A' B) Pdpdq. 



Il faut obferver que l'élément d x d y devant être 

 toujours pofitif, ainfi que dp d q, s'il arrivoit que A B' 



A' B fût négatif, cette différence de figne ne feroit 



relative qu'à la manière d'être des variables at,;^,;?, q entre 

 elles; il n'en faudroit pas moins prendre ( AB'~A!B ) 

 dp dq, pofitivement. Quant à la quantité P, elle peut 

 varier dans fon figne , puifqu'il peut y avoir des parties 

 de 1 intégrale à fouitraire des autres parties, par exemple, 

 des attrapions qui agiffent en fens contraire & qui doivent 

 être retranchées les unes des autres. 



On peut étendre toutes ces transformations à un plus 

 grand nombre de variables. Confidérons, par exemple, 

 l'intégrale triple 



JPdxdydi. 



M m m ij 



