jSo MÉMOIRES DE l'AcADIÎMIE RoYALE 



NOUVELLES RECHERCHES 



Sur les conjlruâions Jcs Equations en différences fnies du 

 j ." ordre, & fur ccik des limites de ces Equations. 



Par M. Charles. 



J-j'l N T É G R A LE <l\mQ cquatioii en différences finies 

 du i.*^^ ordre peut êlre regardée comme ia iuite d'un 

 nombre donné de points qui doivent être placés d'après 

 un point auffi donné , fuivant certaines conditions. Or, 

 fi l'équation efl: élevée, le nombre des ntéj^rales ou des 

 fuites de points qui peuvent vérifier l'équation , dépendra 

 du nombre de points qui doivent êire placés d'après ce 

 point donné , & du degré d'élévation de la propofée ; 

 de manière que , nommant p ce degré d'élévation & « 

 le nombre àçs points à placer, on a. p" pour le nombre 

 t\es ii^légrales. 



EfFeélivement, foit ? (n), ce nombre pour // points, 

 on aura (p ( n H— i ) z=i p <p ( n ) ; donc (p (n) =/'"• 



Si, dans chacune des intégrales, on joint chaque point: 

 par une ligne à ion confécutif , on aura pour les p^ inté- 

 grales^" polygones , qui pourront les reprélenter; mais fi, 

 dans tous ces polygones, on compare les direélions de deux 

 côtés de mêrhe n.*^, on n'en trouvera quej? didinéles. 



Maintenant , foit l'équation en différences finies A y 

 — p A X z=i z±i A X V(q) , où A efl la caraélériflique 

 de difFérentiation. Des 2" intégrales que peut avoir cette 

 propofée, il y en a trois principales : i.° celle où le radical 

 eft pris toujours en plus; 2.° celle où il efl pris toujours 

 en moins; 3." celle où il eft pris alternativement en plus 

 & en moins. 



Deux côtés confécutifs des polygones qui repréfentent 

 les deux premières intégrales , font entre eux un angle 



