118 HisTOIRE DE L'ACADÉMIE ROYALE 
Prenant donc deux de ces équations & les traitant comme des équa- 
tions de l'ordre 7 — 1 entre les variables y, 3" & #, où x ne fe trouve 
point, & où dx eft fuppofé conflant, je remarque fi les d'OS, 
n'y font pas fous une forme linéaire. Ces équations étant en féries, on 
peut toujours les transformer en des équations où les différences les plus 
hautes ne foient qu'au premier degré. 
En effet, fuppofant d'abord qu'il n’y a qu'une feule équation entre y 
& x où x manque, & dx eft conflant, qui n'a point de termes fans y, 
& à qui il ne manque point de rang. Dans ce cas, je fais d" "y égal 
à une fonction fans terme conftant de y, dy. . : . d'T® y; je fubfitue cette 
valeur de d'y dans l'équation en férie où je fuppofe que d” — ‘y eft 
à différentes puiffances. Cela pofé , & l'équation étant ordonnée par 
rapport aux puiffances de y & de fes différences ; il eft clair que fi j'y 
fubititue la valeur d"—17y fans terme conftant, il en réfultera une fonc- 
tion de y, dy.... d'—?2y qui doit être nulle identiquement; main- 
tenant le premier rang de cette fonction, après la fubftitution contiendra 
tous les coëfficiens du même rang de la valeur de d"—:7. Le fecond 
rang de la fonétion qui doit être nulie identiquement , contiendra les 
coëfficiens du fecond rang de Ia valeur de d"—* y, & ainfi de fuite. D'un 
autre côté, les coëfficiens du premier rang de l'équation propofée entre- 
ront feuls dans le premier rang de l'équation qui doit être identique- 
ment nulle; les coéfficiens du premier & du fecond de {a propofée, 
entreront feuls dans le fecond rang de l'équation identiquement nulle. 
Ceux des trois premiers rangs de la propofée, entreront feuls dans le 
troifième de l’équation identiquement nulle, & ainfi de fuite. 
Donc 1.° pour déterminer Îes coëfficiens de chaque rang de Ia 
valeur qu'on a fuppofée pour d"—:y, on n'aura qu'autant d'équations que 
d'indéterminées. 
2.° Les équations ne contiendront que des fonctions finies des coëffi- 
ciens de la propofée, donc on aura la valeur de d"—" y, & par conféquent 
une nouvelle équation en férie où d"—: y eft fous une forme linéaire, 
Suppofons maintenant deux équations entre les trois variables y, y’, x 
où dx manque, dx eft conftant; & où les d"—:y, d"—1 y montent à 
des puiffances fupérieures à lunité. 
Failons d"—1 y égal à une fonction fans terme conftant de y jufqu'à 
d'—2 y, & de y jufqu'à d"—z y", & de même "—: y" égal à une femblable 
fonétion , nous trouverons par le mème raifonnement que ci-deflus, que 
fi on fubflitue ces valeurs de dr—:y, d"—: dans les deux équations, 
on aura deux fonélions qui devront être nulles identiquement, & que 
comme elles contiennent y jufqu'à Z"—=y & y' jufqu'àa Z"—2y de même. 
que les valeurs de d"—:y, d"—:1}", on n’aura qu'autant d'équations que 
de coëfficiens indéterminés ; que les équations feront en termes finis, &, 
le terme connu ne manquera point dans toutes à la fois, lorfque les 
propofées auront tous leurs rangs. , 
Nous aurons donc toujours deux équations du degré x — 1 en féries, 
