DES SCirENCcESs. 119 
& de la forme convenable entre x, y & y’. Appliquant donc à ces deux 
équations la méthode que j'ai développée (Mémoires de 1770), j'aurai 
f par une équation du degré 27 — 2, & traitant chaque différentielle 
exacte, comme j'ai traité dV, j'aurai, en les appelant 4Z, 47°, &c. 
” 2n—2 différentielles exactes. Si x—2, Z & Z'ne contiendront que 
y & y. Donc puifqu'on a deux de ces équations, que y & y’ font deux 
quantités trés-petites & dont on peut négliger une puifflance m; il eft 
clair que, ne prenant les équations Z— 0, Z'—o que jufqu'au degré 
m, & éliminant y, on aura y fans avoir rien négligé que des puiffances 
m de quantités néceffairement très-petites, fi 72 divifant AZ, AZ’ 
par ef *, ef'*, &c. on aura des équations en féries, qui contiendront 
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& en y faifant Ay—7y & Ay —}", on aura 22% — 2 équations qui con- 
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trois de ces équations , il fuit de ce que j'ai dit ci-deflus, qu'on pourra 
en avoir trois autres auffi en féries, où ces d"—2y, dr—2y, dr—3 y" 
ne feront que fous une forme linéaire; & fi je cherche à les intégrer, 
alors j'aurai f par une équation du degré 3 # — 6, & 3n — 6 différen- 
tielles exactes 4S. d$", dS$", &c. Si 7 — 3, comme ces équations ne 
contiennent en général que d—=°y, dr—:y", dr—2)}", elles ne feront 
dans ce cas que du premier ordre: donc Îeurs intégrales feront finies ; 
& comme on en a 3%— 6 différentes, on en aura trois lorfque 2 — ze 
Or ces trois équations S, S’, S”, contiennent y, y’, y”, quantités dont on 
peut négliger la même puiffance; donc ne prenant ces équations que 
jufqu'au degré m, & éliminant y" & y", on aura y. 
Si 2>3, on prendra AS, AS”, AS", &c. & on aura des équations 
qui contiendront y... d"—3 y, y. d"—3 y", pd" —3 3", y". dr —3 y", 
y" — A)". Prenant quatre de ces équations, les mettant fous une forme 
convenable, & cherchant à les intégrer, on aura f par une équation 
du degré 4 n — 12; donc fix — 4, on aura, en intégrant, quatre inté- 
grales finies entre y, y’, y” & y" defquels on tirera y. 
Sin>4, on recommencera les mêmes, opérations jufqu'à ce qu'on 
parvienne aux équations entre y, , J'...ÿ ..."1, qui ne contiennent 
que dy, dy, dyÿ"—"—: & où f foit donné par une équation du degré x. 
Jufqu'ici j'ai fuppofé que les racines étoient toutes inégales, ou du 
moins qu'il y en avoit autant d'inégales que de variables plus une, fans 
cela les opérätions que j'ai indiquées ne pourroient s’exécuter. Suppo- 
fons maintenant que l'équation en f ait des racines égales, & d’abord 
-qu il y en ait deux; fi la proprofée eft du deuxième ordre, en 1a multipliant, 
elle devient Æ V, & par conféquent on a immédiatement l'intégrale fans 
