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120 HISTOIRE DE L'ACADÉMIE ROYALE 
différences; fi elle eft d'un ordre fupérieur on à d'abord # — r équations 
en y & y, à caufe des # — r valeurs de f & une équation qui contient 
x; mais par la méthode ci-defus il fuit d'avoir deux équations diffé- 
rentes. S'il y a trois racines égales ,'& que l'équation füt du troifième 
ordre, elle s'intègre immédiatement en termes finis, & fi l'équation eft 
plus élevée, on aura toujours deux équations différentes, ce qui eit faff- 
fantici. La même réflexion peut s'appliquer aux équations qui ont plus 
d'une variable. En effet, dans ce cas, fi » eft l'ordre de l'équation, & 
m le nombre des y & des équations ; le nombre des racines égales ne 
peut être plus grand que # — 7, à moins que ces équations ne foient 
pas réellement différentes entre elles; ce qui ne peut avoir lieu ici, puifque 
les équations font toutes des intégrales fuppofces différentes. Aiïnfi Jorf- 
que chaque racine en aura # — 1 qui lui feront égales, on aura une 
intégrale finie; & quand elle en aura moins, il reftera un nombre 
d'équations différentes & fans x, plus grand que m+ 1, & il fufñt d'en 
avoir M+ I. 
Ainfi l'on voit que ce ne fera jamais qu'a la dernière intégration que 
Ton pourra être obligé dans cette méthode d’avoir des x, & ce ne fera 
que par l'infpeétion du premier rang de cette dernière équation, qu'on 
pourra juger f la méthode propofée ici, donne ou ne donne pas d'équa- 
tion féculaire. 
(TT). 
IL eft aifé de conclure de la fuite des formules de M. Fontaine, que fi 
ona Pdx + Qdy—=0o, P&Q étant des fonctions rationnelles & entières 
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p' gr, &c. font des nombres quelconques; 4, B, C, &c. 4° BC", &c. 
des fonctions rationnelles & entières, & JV l'arbitraire repréfentera toutes 
celles de M. Fontaine; & que fi »’ eft le degré de A, m" celui de B, 
m"" celui de C; & que m,', foit celui de A’, m.", celui de B°, m,°", celui 
de C”’, &c. on aura m + m + m"........ — ou < m+ T1, &de 
même m',+m ,+m ,...... —=<m +1. Or, l'on voit que 
m étant un nombre fini, le nombre tant des À, B,C, &c. A, B’,C', &c. 
que de Jeurs différentes combinaifons fera auffi fini. 
J'ai obfervé ailleurs que cet abaiïffement des formules intégrales avoit 
deux caufes ; l'une que le numérateur de la différentielle ait des facteurs ; 
c'eft le cas que je viens d'examiner; l’autre, que les rangs fupérieurs du 
même numérateur fe détruifent par des valeurs particulières de coëfficiens. 
Pour voir ce que cette feconde caufe peut produire, j'obferverai que foit 
ani F 
es nue er : 7 une intégrale où À, B, C, D, E, &c.F, 
du degré m; la formule — Non piugr race 
A", B', C’, D'..... F', expriment les différens rangs de ces fonclions, 
A tant le rang le plus élevé, & F, F', des conftantes , la différentielle 
fera, 
