DHETSM SICILE NU GES; F2 
fera, après avoir négligé Ie dénominateur, & l'avoir ordonnée par rapport 
au degré des variables ; elle fera, dis-je, de la forme 
(A dA AA) + (A'4B + B'dA — AB — Bd) 
+ (A'dC + CdA — AdC — CdA + B'dB — BdB'), &c. 
3 & : d A d A! 
Or, pour que Île premier rang difparoiffe , il faut que A = Ta 
ou A =» A’; pour que le fecond difparoifle, il faut qu'y faifant 
d A! dB n4B! 
A=nÀ, —— — é ouNA — B— nB'; or, 4 
A! EN 
ne peut être du même degré que B par l'hypothèfe. Donc N = o, 
B — nB'; on trouvera de même € — 7€", & ainfi de fuite; donc, 
fi on va jufqu'au terme F'4A — F4 A’, on trouvera F — » F'; or, 
cela ne peut avoir lieu fans que l'intégrale propofée fe réduite à une 
conflante ; donc, la différence ne peut s’abaiffer à un degré plus bas 
que celui qui eft inférieur d’une unité à celui de A; donc, fi m eît le 
degré de la différentielle, celui de À ne pourra être plus grand que 
m + 13 donc, le nombre des formules d’intégrales eft fini pour chaque 
degré de l'équation différentielle. 
(III). 
J. Soit F — o une équation différentielle que, pour plus de fim- 
plicité, je fuppoferai du fecond ordre, & foient 8 & B’ deux de fes 
intégrales du premier ordre; il eft clair que la forme générale de l'inté- 
grale de cette équation fera F B B'; donc fa différentielle fera 
dF dB dF dB! nn dF 4B dF dB! 
PTNPPTIRERET SPA + (55 ae las PES, 
Donc, fi V — o eft de la forme ddy + À, & qu'on veuille chercher, 
d 
comme M. Fontaine, à le mettre fous la forme 4 en + A'dy 
d 
+ B'dx.... en regardant _ » X, Y, &c. comme des variables 
dF dB dF dB! 
, dB dy dB" dy 
| différent DORE AS DOUTE 
M TES AE TA APN 
LA da AR ddy 
valeur générale de 4’; par conféquent, en cherchant A'en général par 
l'élimination des équations de condition, comme M. Fontaine le pro- 
pofe, on ne parviendra pas à avoir finalement A’ égal à une fonction 
fans arbitraires. On voit que cette valeur de 4° fera d'autant plus com- 
pliquée que V — o pourra avoir plus d'intégrales différentes, 
Hif 1771. 
