122 HisSTOIRE DE L'ACADÉMIE ROYALE 
II. Ainf, la première méthode de M. Fontaine ne pourra fervir à 
trouver en général les coëfficiens des différences des variables dans la 
forme qu'il donne aux propofées , ni par conféquent réduire les équations 
fupérieures à celles du premier ordre. 
III. Onvoit cependant que cette méthode peut réuffir dans plufieurs 
cas. En efïiet, foit une équation d’un ordre fupérieur au premier, telle 
que la multipliant par un facteur fans différences, elle devienne une 
différentielle exacte ; il eft clair que fi le facteur eft unique, tant le 
facteur que les coëfficiens des différentielles qui y répondent feront 
uniques & donnés, les coëfficiens par une équation finie, & le facteur 
d 
par une équation de la forme qi —= Rdy + Sdx. Ainf lon 
réduira toujours dans ce cas la propofée aux quadratures, foit qu'on 
cherche d’abord les coëfficiens pour la réduire à une équation du premier 
ordre qu'il faille intégrer, foit qu'on cherche immédiatement le facteur 
qui la rend une différentielle exacte. = 
IV. Si l'équation propofée d’un ordre fupérieur au premier, admet 
deux facteurs de cette efpèce, il eft clair que la valeur générale des 
SERA nAM + mAM : 
coëfficiens fera, dans ce cas, de [a forme ———— , où À 
nu À + mA 
& À’ font les deux facteurs, A1 & M, la valeur du coëfficient, & » &m, 
£ nt . . . 
qui fe réduifent à [a feule —— , des conflantes arbitraires. On voit done 
LA 
que dans ce cas Îa valeur des coëfficiens pourra être donnée par une équa- 
tion ordinaire du premier ordre, & celle du facteur, par une équation 
du fecond ordre, réductible à deux du premier. Aiïnfi, ce fera donc en 
général, dans ce cas, deux équations du premier ordre, que lon aura 
à intégrer, & ainfi de fuite, pour ceux où l'on auroit un plus grand 
nombre de facteurs. 
V. Si l'équation eft au-deflus du fecond ordre, & qu’on ait un facteur 
dy re PR 
enx,}) fans autres différences, on aura ce facteur par une équation 
x L 
du premier ordre, & les coëfficiens par une équation finie, comme dans 
Particle 111 ci-deflus ; & il en fera de même en général pour les facteurs 
des ordres fucceffifs, jufqu'à »# — 2, feulement l'ordre de la pro- 
pofée étant m, parce que les intégrales renfermant les différences jufqu’à 
mi— 1, les fonctions de ces intégrales ne peuvent entrer dans les facteurs. 
VI. Soit une équation au-deffus du premier ordre, & dans laquelle 
aucune différentielle ne foit fuppofée conflante. Suppofons de plus, 
qu'elle foit telle que fon intégrale contienne une nouvelle arbitraire que 
la différentiation ait fait difparoître, j'aurai pour intégrale B+ax+6= 0 
