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a & B étant des conflantes arbitraires, & x, cette variable qui avoit 
difparu; il répondra donc à cette intégrale deux faéteurs, dont l'un 
rendra la propofée V de la forme de 2, & ne contiendra pas x ; l'autre, 
la rendra de la forme xd4B, & contiendra x; Îa valeur générale du 
premier facteur fans x fera, fl AV — ddB,FdB.A; mais il faut 
que F4B foit une conflante fi on veut que F4B AV foit une double 
différentielle exacte. Donc, dans cette dernière hypothèfe, la forme 
générale du facteur eft 7 A, n étant une conftante arbitraire; donc, on 
aura dans ce cas le faéteur comme dans l’article II ci-deflus, c'eft-à-dire, 
par une équation différentielle linéaire & du premier ordre ; dans ce même 
cas, on aura pour les coëfficiens cherchés à la manière de M. Fontaine 
une équation finie. 
VIT. Si l'équation eft au-deffus du fecond ordre, & qu'elle foit 
fufceptible de la forme 4? B, fi elle eft du troifième ; d#B, fi elle eft 
du quatrième, la remarque de l'article précédent eft vraie en général ; 
mais ft cela n'a point lieu, fuppofant qu'elle ait les deux intégrales 
B+ax+ 6,8 + ax + b; & foit AV — ddB & A'V = dd P!, 
la forme générale du faéteur fera (F4B, dB'.A + F'4B, dB'A'), 
dFdB.dB! d.F'dB 4 B 
F& F'ét = = ———— ; i I 
Étant tels que RTS) Ë PRES & foit M le 
coëficient cherché à Ia manière de M. Fontaine dans  & M’, le même 
coëffcient dans VW”; la valeur générale du coëfficient fera dans ce cas 
FAM+FA.M 
FA FA 
méthode pour avoir les coëfficiens ; mais fi on cherche le facteur dans 
J'hypothèfe que la propofée admette une double différentielle, on aura 
l'intégrale générale F"4B, dB, qui devra être une différentielle exacte. 
Donc, il faudra que F” foit égal à md B + ndB'; donc, la valeur 
générale du facteur fera m À + mA‘; donc il fera donné par une 
équation linéaire du fecond ordre. 
; donc, on ne peut fe fervir mmédiatement de cette 
VIII. Les réfultats de l’article précédent, font indépendans de l'hypo- 
thèfe que la propofée renferme ou ne renferme pas une différentielle 
conftante, & que la variable que l'intégration introduit avec cette con- 
‘dition, foit déjà dans la propofée, ou ne s'y rencontre pas; mais 
lorfqu'aucune différentielle n'eft fuppofée conflante, on peut s’aflurer 
a priori, fi l'intégrale eft ou n’eft pas fufceptible de Ia forme de dd 
B — o; au lieu que s’il y a unc différence conftante, on ne peut le 
favoir que par l'examen des équations de condition. En effet, dans le 
premier cas, foit l'équation entre y & y’, où aucune des deux différences 
n'eft conflante, je fuppofe que d'y le foit, c’eit-à-dire, queje fais y, dy, 
&c. — 0; enfuite je fais l'opération ordinaire pour compléter la propofée 
: SABRE & dy’ 1 
mife fous cette forme, c’eft-à-dire » que je mets Z. —— en faifant 
Qi 
