126 HISTOIRE DE L'ACADÉMIE ROYALE 
ordre de grandeur différent de celui qu'elle doit avoir; donc, quelque 
valeur renfermée entre les limites du fyftème qu’on donne aux 4, 8, €, &cs 
V ne changera pas de figne; mais à — 6, Bb — c, c — d, &c. 
n'en changeront pas non plus; donc P confervera pour toutes les valeurs 
contenues entre ces limites un même figne. 
Si c'étoit la fuppoñtion d'une des lettres &, b, c, &c. égale à 
zéro qui faifoit retomber le fyftème propofé dans celui de P = o, 
on auroit P de Ia forme Va°" 4°" c'?, &c. V étant comme ci-deflus, 
& a, b,c, &c. étant toutes les kettres qui étant égalées à zéro feroit 
tomber le fyfème propofé dans celui où p — o. Si dans le fyftème 
de facteur, la lettre égalée à zéro multiplioit Ÿ — 1 m, 2, p,. &c. 
feroient pairs; cela pofé, on voit encore que P doit conferver toujours le 
même figne pour toutes les valeurs contenues dans les limites du fyftème 
propofé. Or, ceci fuffit pour affurer la légitimité de la méthode de M. 
Fontaine , toutes les fois que pour deux fyftèmes de facteurs qui fe rap- 
pellent à un fyflème commun, qui a pour condition P — o; on à 
P> 0 dans un de ces fyftèmes, & P <o, dans l'autre, pour un exemple 
particulier. 
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TI. Maintenant, il faudroit prouver que lorfque deux fyflèmes de 
facteurs fe réduifent à un fyflème commun, & que P = 0,Q = 0 
équation de condition du fyflème commun , ne font pas telles que P> a 
& < o,ou @ >o & Q<o; dans ces deux fyflèmes il y a toujours 
une autre fonélion R égale à o , dans le fyflème commun , > o dans 
un des deux fyftèmes , & <o dans l’autre. Pour favoir fi une telle fonction 
exifte néceffairement, je prendrai pour exemple le cas où l’on compare 
‘ deux fyflèmes de facteurs qui ne diffèrent qu’en ce qu’au lieu de facteurs 
x — b, d'un des fyftèmes, l'autre a des facteurs x — c; & récipro 
quement, il faut pour cela que Île nombre des faéteurs x — à étant m, 
dans l’une des équations, le nombre des facteurs x — € y foit #° 
différent de m. Cela pofé, foit m > #', je différencie la propofée au 
moins un nombre #' de fois & fous cette forme, & j'aurai le divifeur 
commun de cette équation, & de Ia propofée qui fera x + a..... 
(x + 0)", m" < (m—m'), a Étant une racine répétée dans la pro- 
pofée plus que #° fois; donc le dernier terme fera 4.4"*. Maintenant 
; < Ha x , ÿE 
foit X la propofce, qu'on ait 7 » que X" foit leur commun divifeur, 
* 
ES contiendra x — 4, x = C, # — a... N — a étant des 
facteurs de X autres que c & b; le dernier terme fera donc 4’ &c, A’ 
ainfr que À ne changeant point lorfque à devient c, & réciproquement, 
& je parviendrai ainfi à des équations dont les derniers termes feront 
bb" E",c cc", 8", 8" étant les racines qui fe trouvent entrer dans l’équa- 
ion en même nombre que #, c', c“* étant les racines en même 
