o MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
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A, B, C, étant des fonctions de W, F'{x + y) & (x + 9), 
& l'équation pouvant être ou n'être pas réfoluble tant que {x + y) 
refte indéterminé ; cette équation peut être même d'un ordre 
quelconque. 
De plus, la quantité dont F'eft fonétion arbitraire, peut être 
ou algébrique ou tranfcendante, & peut même contenir une autre 
fonction arbitraire. Tous ces différens cas doivent être confidérés 
féparément. 
IL: Je fuppof d'abord que intégrale ne contienne qu'une 
fonction arbitraire d’une quantité algébrique, que la fonétion arbi- 
traire n'entre pas dans une fonction tranfcendante, & que l'intégrale 
foit algébrique. Soit, lorfque 7 — 4, une équation algébrique 
donnée en x & y; je fubftitue dans l'intégrale, au lieu de y, fa 
valeur tirée de cette équation, & jai FX égale à une fonction 
déterminée de x. Je mets dans cette fonétion, au lieu de x, fa 
valeur en #, & j'ai FX égale à une fonétion déterminée de #, 
& par conféquent la forme felon laquelle fa fonction arbitraire 
doit contenir la quantité dont elle eft fonction, 
Si les équations que j'ai fuppofé ci-deflus être des équations 
algébriques, fe trouvent contenir des tranfcendantes, alors j'appel- 
lerai Z la fonétion arbitraire, # la quantité dont elle eft fonction, 
& j'aurai, après avoir fait 7 — 4, une équation en Z, x, y, 
une en #, x, y, & une enfin en x, y; d'où éliminant x & y par 
des différenciations, on aura une équation différentielle entre Z 
& u, dont l'intégrale donnera la forme felon laquelle la fonétion 
arbitraire doit contenir la quantité dont elle eft fonétion. 
De-là il eft aifé de voir que dans le cas des équations toutes 
alsébriques, on aura l'équation finale algébrique entre Z & w, fans 
être obligé de réfoudre les autres équations. 
III Je fuppofe maintenant que l'intégrale contienne deux 
fonctions arbitraires F5, F's',que À” s' ne foit pas contenue dans s 
ou réciproquement, & que lorfque 7 = 4, on ait une équation 
en x & y, & lorfque 7 — 4, une autre équation entre ces mêmes 
variables ; d'abord toutes les équations étant algébriques, j'aurai en 
faifant 7 — 4, & mettant pour y fa valeur en x, une équation 
algébrique en FX, FX" & x; puis faifant 7 = 0, & mettant 
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