58 MÉMOIRES DE L ACADÉMIE ROYALE 
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intégrale, ni d'autres tranfcendantes que deux fonctions & ‘ 
mx +b ax +bx+c A ax +éx+e Ne'"* 1x 
, ue & e , Que être. 
dont les coëfhciens feront arbitraires. 
V. Si l'on veut appliquer ces mêmes principes aux équations 
du fecond ordre, on trouvera 1.” que fi la propofée eft produite 
par la comparaifon des quatre équations Z, AZ, dZ & d Z; 
l'intégrale ne pourra contenir de tranfcendante autre que les 
exponentielles, parce que fr elle en contient une, A Z en con- 
tient une nouvelle qui ne fe trouve pas dans les autres équations ; 
& qu'ainfi on ne peut éliminer : dans ce cas la propolée ne contient 
quex, dx, Ax,y, Ay, dy& d”y,&c. 2. Que fi elleeft produite 
par la comparaifon des quatre équations Z,dZ,AZ,AZ, cequi 
arrive lorfqu’elle ne contient point d'autres différences de y, dy, 
Ay & AY, elle ne peut contenir de fonction arbitraire, parce 
que dZ = 0, y introduiroit une différence de cette fonétion qui 
ne fe trouve point dans les autres. 3.° Que dans ces deux cas, 
} LOF . ‘ . . x +a 
1 intégrale peut contenir ou trois fonétions exponentielle e » 
mx +b Pr+c 5 ax+bxte Afax*+bx+e 
Varee ; où une fonction e ti FE (PE ) : 
px+c ax +béx + Aa +bx +es+f 
& .é ;: où € Ve 
Atax +HbE + cr + Nes 
&e f. ou e de Tree tion 
ax + ba 
€ TE dans le cas où » x —+-pferoit égal à À a x° + bx +; 
1 n x 1 ,nx 
De CNET A PL ele En) 4° Que fï elle eft produite 
par la comparaifon des cinq équations Z=0o, dZ=o, 
AZ—=o, ddZ—=0o,dAZ—o,ceft-à-dire, fielle contient 
toutes les différences fecondes hors AAy, Z pourra contenir 
une tranfcendante quelconque. En effet, / A Z contient a nou- 
velle tranfcendante que cette fuppoñition fait entrer dans A Z ; 
mais Z n’en pourra contenir deux en général, parce que AZ 
& dAZ en contiendroient deux nouvelles ; il faudroit donc 
qu'elles fuffent telles que AZ n’en contint qu'une nouvelle, 
cefl-à-dire, que les appelant A& B,onpütavoir A+ AB. 
