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l'équation ên f, a cinq racines réelles. On trouve quê celui des 
imaginaires eft infini; en effet , on peut toujours conftruire la 
propolée par l'interfeétion d'une fetion conique & d'une loga- 
rithmique; chaque branche imaginaire de a logarithmique pourra 
être coupée par la fection conique, & le fera à des points corref- 
pondans aux mêmes ablciffes que fi la branche réelle étoit 
coupée par des fections coniques femblables, mais placées à des 
diflances imaginaires de l'axe, & l'on aura pour arbitraires des 
féries comme ci-deflüs. 
Paffant maintenant à lexamen des cas particuliers, j'aurai 
d'abord en faifant g & e — o& c — La, l'équation 1 + af 
+ be. 1 + a f = 0, ce qui donne les deux folu- 
tions f—= — Fe ei — Fr: aïnfi l'intégrale complète {era 
J=es A+ Dr à B, B étant une fonction qui refte 
la mème lorfque x eft augmenté de l'unité, 
Soit e— 0, & que 1 + bef+-gef — 0 ait une raciné 
commune avec l'équation a + cef = o, j'aurai y égal à un 
terme &* B, où B fera une fonction arbitraire, comme pour le 
cas des différences finies. 
Si au contraire g — 0, & que 1 + a f -+ BF 0; 
ait une racine commune avec l'équation & + cf — 0, j'aurai 
y égal à ef, multiplié par une feule conftante æbitraire À; 
les autres racines donneront des équations en férie, 
Ces cas font ceux où la fection conique dont l'interfection 
avec la logarithmique donne ces racines, fe réduit en deux 
lignes droites. 
Le cas des deux racines égales fe traitera comme ci-deflus; 
& l'on peut diftinguer le cas où l'équation en f feroit le quarré 
d'une feule équation linéaire. 
Celui de 3,4, 5 racines égales, {e traitera de même, & il 
ne fera pas difficile de démontrer en général que y = Ax"ef*, 
réfolvera toute équation de ce genre où l'équation en f, aura 
n + 1 racines égales. 
Je ne m'étends pas davantage fur cet objet; les autres ordrés 
Mém, 1771. I 
