300 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
en différences inférieures, & on aura cette quantité égale à une 
{rie en y, dont les coëfficiens feront des féries de finus & cofinus 
multiples de x qui devront être convergentes, & en continuant 
cette opération, on aura y en x. 
XI. On voit donc qu'en général fa léoitimité de cette mé- 
thode dépend de la convergence des féries en fin. p x, &c. & que 
la convergente de ces f&ries dépend de celle des féries ordonnées 
dy : ‘ 
par rapport aux y, —— , &c. ou, c qui revient au même , de 
la convergence des approximations faites en négligeant fucceffi- 
vement les rangs de la propofée. 
XIL Au refte, il faut obferver ici que Îes arbitraires Ventrent 
dans les coëfficiens des féries en x, on ne peut donc juger de 
la convergence de ces féries que V ne foit connu, & qu’en général 
NN ne foit tès-petit; ayant donc la valeur de y en férie, on prendra 
n valeurs particulières de x pour lefquelles on connoit y, & il 
faudra que les féries en nombres qui multiplient N, foïent con- 
ventes, ce qui retombe dans la même conclufion que les 
numéros IX, X & XI. Enfuite les féries étant convergentes, on 
examinera fi les valeurs qu'elles donnent des différens /V peuvent 
être regardées comme très-petites. 
vVÉro 
XIIL. Si au lieu d'avoir toutes les intégrales dans le premier 
cas des obfervations préliminaires , on en avoit eu d'égales à 
Mi , f étant pofitif ou ue fin. px ; il feroit aifé de voir que 
toutes les méthodes connues jufqu'ici, conduiroïient à avoir pour 
y une valeur du 1.% ou du 3. cas, ainfi la méthode ne conduit 
pas en général au fecond cas. 
XIV. Lorfque la valeur de y eft dans letroifième cas, on peut; 
fi par le petit changement permis, elle fe rappelle au premier, la 
traiter comme appartenante à ce cas, & on verra fi elle donne 
des valeurs de y en féries convergentes pour toutes les valeurs de 
xou pour un certain efpace feulement. Si on ne peut la rappeler 
au premier cas, alors elle eft néceffairement dans le troifième, 
& l'on ne peut avoir y en x que pour un certain efpace de va- 
leurs de x, & fi on vouloit l'avoir pour la fuite, il faudroit ung 
approximation nouvelle, d 
