336 Mémoires DE L'ACADÉMIE RoyALr 
Comme toutes ces conditions exigent que l'on ait fous les 
radicaux, les nombres imaginaires dont le cube eft t, on voit 
qu'il eft impofhble d'éviter dans la folution du troifième degré, 
ce qu'on appelle le cas irréduétible. 
Il fera facile d'étendre & de généralifer ces remarques. 
XXI. Nous avons prouvé (article X1/1) que 
HA) + Va +b— ce dj + Va+c—b—d) + v{a + d—b— 06) 
renferme les quatre valeurs 4, 8, c, d, fi lon y fuppofe les carrés 
développés. Ces carrés font, favoir, 
@+B—c— d} ab + cd 
ein i = (À) — 2(AB) + 4 fe: 14 
{@+db—:) ad + be 
a(ab + cd) — (ac + bd) — (ad + bc}, 
= (4) — + (AB) + 3 2(ac + bd) — (ad + bc) — (ab + cd), 
2 (ad + bc) — (ab + cd) — (ac + bd), 
En échangeant les lettres entre elles, de toutes les manières poffibles ; 
dans 
2{ab Æ cd) — (ac + bd) — (ad + bd) 
on ne trouve que les trois valeurs 
2(ab + cd) — (ac + bd) — (ad + bc) = 
2(ac + bd) — (ad + bc) — (ab + cd) = 
2{ad + bc) — (ab + cd) — (ac + bd) = W"; 
mais par Farticle HI 
(ab + cd + r'ac + bd + r'ad + bcp 
+ ÿ (ab + cd + r'ac + bd + rad + bc}, 
en y fuppofant les cubes développés, fera indifféremment ou #', 
ou 4”, ou #”. Le premier de ces cubes eft 
(AB) — 3 (A B'C) + G(A BCD) + G(A°B°C') — 3 (4 BCD) 
+ ia —b)(a— dj {a—db—ofb—d)(e — d)V — 3; 
Yautre n'en diffère que parce que V — 3 y eft en moins: or 
comme le carré du produit des différences entre les racines eft 
