696 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
où À eft conflant, B du premier degré, € du fecond, & D 
du troifième. Je dis qu'on peut toujours trouver une fonétion 
rationnelle de x & de y, qui foit une différentielle exacte , & qui 
devienne y dx, en y mettant pour y & dy leurs valeurs. 
DÉS MIOUNES TER SANT NON, 
Pdx + Qdy 
R 
que P doit être plus élevé d'un degré, par rapport à y, & Q 
par rapport à x, fans quoi on ne pourroit fatisfaire à l'équation 
de condition. Suppofons donc que »’ foit le degré de R, + r 
celui de P & de Q, en forte que P contienne y” +", & Q, x" 7". 
D'abord, le nombre des équations de comparailon entre les 
coëfficiens que produit la condition d'être une différentielle exaéte 
Soit cette fonétion différentielle. On voit d’abord 
DH Hi n HN +2 
fera - 7 
Enfüité le nombre des équations de condition qi naîtra de Ja 
fuppofition que la fonction devienne y, après la fubflitution, fe 
Ya Ê d B" y* C1 D} x 
trouvera ainfi, Soit 2 — 27272 à B' dt 
dx PNA NC ES UD" 
conftant ainfr que 2'', C' & C" font du premier degré, & 
1 1 B'y + C'y + D' 
D'& D" du feçond; on aura P + Q 
By + C'y + DE 
Nous aurons, après avoir fait difparoître le dénominateur, y, qui 
montera au degré # + 3; donc, mettant fucceflivement pour 
ÿ fa valeur, nous aurons une fondion ay + by + €", 
qui devra être nulle identiquement, & où a'' montera au 
n + 1 degré, D" au n + 2 degrés, C"' au degrér + 3; 
donc, les conditions ne feront qu'au nombre de 32 + 6. 
Maintenant, celui des coëfhciens indéterminés eft, pour le 
numérateur 7 + 1,7 + 2 + 20 + 2 — 1, & 
ee Hd Him - 
pour le dénominateur =" T7 — x, 
2 
Donc, puifque #' & # font des nombres indéterminés qu'on 
peut prendre aufli grands qu'on veut, comparant les termes où 
ils 
