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SUR DES IRRATIONNELLES 



De différent Ordres , avec une application au Cercle. 



JLa diagonale d'un quarré eft incommenfurable à fon côté, ,, . .„, 

 parce que Ion expreliion renferme le nombre qui, multiplie p. 4.89. 

 par lui-même , donneroit deux au produit, & que ce nombre 

 n'eft pas à l'unité, comme deux nombres entiers lontentr'eux. 



On peut dire à quelques égards, qu'on ne peut que désigner 

 ce nombre, & non pas l'affigner; cependant lon expreffion 

 eft admife dans le calcul avec raifon, & non comme un pur 

 fymbole.mais comme une expreffion analytique 5c rigou- 

 reuse , parce que ce n'eft pas un fymbole arbitraire , mais 

 que c'eft ce que devient l'expreffion du terme général 

 d'une fuite algébrique, quand on y fubftitue les nombres 

 convenables. Ces caractères d'une expreffion analytique & 

 rigoureule , le trouvent réunis dans les nouvelles irrationnelles , 

 dont M. Vandermonde entreprend d'expofer la nature & 

 quelques propriétés. 



Plufieurs perfonnes avoient déjà penfé qu'il y avoit entre 

 k circonférence du cercle & fon diamètre une efpèce 

 particulière d'incommenfurabilité; cette idée demeurée vague 

 & fans aucun fruit jufqu'à prélent, devient ici une conle- 

 quence précife d'une recherche qui n'avoit pas le cercle 

 pour objet, & peut intérefîèr à cette recherche des perfonnes 

 même peu exercées dans le calcul. 



Pour en donner une idée, nous remonterons avec M. 

 Vandermonde à la génération analytique des irrationnelles 

 ordinaires. Lorfqu'un nombre doit être multiplié plufieurs 

 fois par lui-même, & qu'il s'agit de l'indiquer, on fe contente 

 d'écrire le nombre qui doit êtreainfi multiplié, & le nombre 

 de fois qu'il auroit dû fe trouver dans le produit fi l'on fe 

 fut lervi du figne de multiplication, & ce dernier nombre 

 eft nommé Ve.xpofant du premier; on peut regarder . cet 

 expofant comme indéterminé, mais fi l'on vient à le fuppofer 

 fractionnaire , on a alors une expreffion irrationnelle. 



