16 Mémoires de l'Académie Royale 



dd x — — ■ -, & ainfi de fuite pour toutes les diffé- 



rences deuxièmes, troifièmes, &c. 



4. On pourra employer la méthode du numéro premier 

 ou celle du fécond , pour favoir fi l'on a une intégrale 

 de l'ordre immédiatement inférieur ; & pour cela il fuffira 



de prendre une férié en x, y, 1 — — -^— , &c. jufqu'à 

 Se — r^r~ de fubftituer dans la propofée les valeurs 



3 x" ' dy 



de — *- & — —r venue de la difTérentiatîon de la férié pré- 



3 x dy r 



cédente , & d'égaler à zéro le coefficient de chaque diffé- 

 rence de l'ordre n qui reftera dans la propolee. Il eft ailé de 

 voir que le cas de dBdA — dBdA zzz o, donnera une 

 arbitraire dans chaque rang des coëfficiens de la férié, & 

 que toutes les fois que la propofée contiendra une fonction 

 arbitraire dans fbn intégrale, la même chofè aura lieu. 



5. On pourroit demander ici s'il y a réellement des 

 équations aux différences partielles poffibles dans le fens de 

 l'article précédent, & qui ne contiennent pas de fondions 

 arbitraires, ou qui n'en contiennent que de t. Il eft donc à 

 propos d'en offrir des exemples. Soit d'abord l'équation 



at>i -+- di H— bdx — \- c dy m o, 

 il eft aile de voir que, failânt la fubftitution ci-deffus, on 

 aura, 1 étant fuppofé égal à A -\- Bx -+- Cy -+- D x z 

 -t- Exy -+- Fy~, &c. A quelconque, B a -+- b rzn o, 

 c -+- C zz=. o , & les autres coëfficiens égaux à zéro. 

 Soit encore l'équation d idx -\- dx 1 -\— d^dy -f- dy'zzz o, 

 on trouvera, en faifant la même fubftitution, >4 quelconque, 

 B — f— 1 = o , C — t— 1 = o , & tous les autres 

 coëfficiens égaux à zéro de la ierie en x Se y; donc, l'inté- 

 grale de cette équation eft 2 -t - x -+~ y H— A = o , 

 A étant arbitraire, 



6." Soit 



