18 Mémoires de l'Académie Royale 



les intégrales étoient fufceptibles de la forme Z -+- F7J 



— o , &c. provenoient toutes de la forme différentielle de 

 t> B d A — dAdB =n o, que la forme d'intégrale 



Z — l— F Z' H— — rs — =; o , fê rapportoit à la même 



forme de différences , qu'on pouvoit toujours la rappeler 

 alors à Z — t— F' Z' — o , & qu'ainfi elle n'étoit pas 

 plus générale que la précédente. Si donc nous avons une 



équation en ■—— , — — , z> x & y> fufceptibîe de la forme 



dAdB dAdB, fon intégrale fera Z+f'Z'^ro; 



il nous refle à chercher les quantités Z & Z'. 



2. Pour cela il faut rechercher d'abord quels radicaux 

 & quelles tranfcendantes les fonctions peuvent contenir. Soit 



donc -— =-j— z= —r— — , ■■■■ ; il eit ade de voir 



Pd^ -+■ Rdji P' d^-\- R dy 



qu'il fuffit pour que la propolée foit fous une forme 

 rationnelle & algébrique, à caiifê de Pdz -+- Qdx x P'dç 

 -f- R dy =- Pd Z -+- Rdy x Rd Z -+- Q'dx, & qui 

 doit être terme à terme avec la propofée , que ■ 



PQ' QP' f pR RP' , QR R Q' 



foient fans tranfcendantes & fans radicaux, autres que ceux qui 

 fe trouvent dans la propofée mife fous la forme Ad^dx -+- 

 Bdzdy-h- Cdydx; ainfi P, Q, R, P', Q', R', feront fans 

 tranfcendantes, & fi on tire de PQ' — QP' = A,P'R 



— R P 1 — B,QR' — RQ' — C, la valeur de P', Q 1 , R, 

 en P, Q, R, Se A, B, C, il ne reftera plus dans la formule 

 cherchée que P, Q, R, quantités algébriques, mais pouvant 

 contenir des radicaux. Ainû nous aurons d P zzz A' d x 

 -+- B'dy -+- Cdz.dQ = A"dx -+- B"dy -+- Cd z ,dR 

 m Â"dx -+- B'"dy -+- C" d z, ces fonctions étant fans 

 radicaux & contenant z> x,y & P, x,y,7 & Q,x,y,z cv R, 

 ou plutôt P — A'dx -+- B'dy -f- C'dz -+- D'dp» 

 Q = A"dx-i- B"dy H- Cd z -h- D"dp, R = A'"dx 

 _*_ B'"dy -+- Cd z -+- D"'dp'", & d F -t- A' y dx 



