22 MÉMOIRES DE l'AcADEMIE RoYALE 



3. On remarquera que Z' Se Z" font teis que dZ', 

 d Z" foient fans tranfcendantes , qu'ils peuvent contenir des 



radicaux indéfiniment; c'eft-à-dire que — — , — -— , &c. 



font fonctions de x,y, 1 & p ; p étant donné par l'équation 

 rationnelle dp -+- Ac>z -+- Bdy -+- Ci)x -+- D7)p, 

 dont l'intégrale eft algébrique. 



4. On remarquera que les Z, A, B, &c. dépendront 

 d'une équation différentielle ordinaire du cinquième ordre 

 tout au plus , pourvu que les coëfficiens , fondions déter- 

 minées de Z' &. Z", foient regardés comme conftans. 



5. Cela pofé , fi tout eft connu on déterminera les 

 coëfficiens de la férié en F & F' , qui feront donnés par des 

 équations linéaires dont on cherchera la folution comme celle 

 des équations qui donnent Z , A & B, Sec. mais on pourra fe 

 difpenfèr de cette féconde recherche , fi au lieu de la férié 

 ci-deffus on prend celle-ci, qui lui en: équivalente, 

 Z+ AFZ' -t-BfFZ'.dZ' -H CfffFZ'dZ'JdZ' 



-+- A'F'Z"^-B'fF'Z"?)Z" -H C f(fFZ'dZ'dZ' ; 

 En effet, chaque terme de la férié de A B & A', B', &c. 

 eft toujours donné alors par une équation linéaire & finie. 



6.° Il ne faut pas , lorique l'on a une férié de la forme 

 AïF £ïlF 



F --+- -Tz- -+- ~w-> &c - 



Si qu'elle eft infinie , en conclure fur le champ que la 

 propofée n'eft pas fulceptible d'une intégrale finie de la 

 même forme. En effet, foit mis à la place de Z, Z — J— V, 

 fi la férié infinie fe trouve réduite à une férié finie , l'inté- 

 grale de la propofée fera une férié finie de la fonction 

 F Z — V. Si l'on a deux fonctions , dans ce cas , on 

 tentera fi la réduction eft poffible féparément pour toutes 

 deux. Mais fi les deux fonclions fe trouvoient être des 

 fonctions différentes de la même quantité Z , alors foit F 

 une des fonctions Se F' l'autre, il faudra voir fi en mettant 

 »u lieu de F, F" Z -+- V, Se F'" Z ■+- B, Se de même 



