24- MÉMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE 



Si les deux racines font égales , & que par conféquent la 

 quantité fous le ligne foit zéro; alors je n'ai qu'une ferie, 

 mais dans ce cas, mettant au lieu de 3 :=: Ae mx ~ t ~" y 



1 ■=. Axe"" "*" ny , j'aurai, après la fubftitution, deux coëffi- 

 ciens à égaler à zéro ; celui de xé"*~*~" y , qui fera le même que 

 ie coefficient de e mx ~ h " y , dans la fubftitution précédente, & 

 enfuite le coefficient de c mx ' + ~" y , qui fera 2am -+- 6 n-+- c zzz o, 

 or fi l'équation précédente à (es deux racines égales on a 



2 a m H— b s — \— c zzz o , pu i (que cette quantité eft 

 égale à la différence de la première fonction , prife en faifant 

 varier ni, & divifant par dm , on aura donc deux fériés , 



l'une de termes Ae mx ^ ny , l'autre de termes Axe ' ; 



...... t>» -t- / i I. II 



mais ici 1 ai // z=z — — ; donc , au lieu de enaque 



f y 



férié , je puis mettre A c zc ? Fx — y , & 



/ f f 

 A'xe 1C y F' x — y, ce qui me donne encore 



l'intégrale générale, & en termes finis £ = Ae 77-^ 



Fx y -+- xe~Zl y F' x y. 



Si j'ai c ■=. o , alors j'aurai , fi je prends m arbitraire , 

 une feule valeur de n en m , & par conféquent une feule 

 férié; mais fi je fuppofe n arbitraire , ce qui revient au même, 

 alors on a deux valeurs en //, & j'ai par conféquent deux fériés. 

 Mais en examinant ces deux fériés, on trouve qu'elles ne 

 contiennent pas un (eul terme qui ne puilîe fe trouver 

 dans ia feule (crie que donne la première folution ; en effet, 

 quel que foit dans le terme e ny * "' x d'une des deux feries, la 

 valeur de // & celle de m qui y répond ; il eft clair que 

 prenant cette valeur de ///, on aura, dans la férié unique, le 

 terme e mx ^ ny , comme dans l'autre hypothèfe. Ainfi il n'y 

 a réellement dans ce cas qu'une feule férié. 



Si e 



