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où les A, B, C, &c. ne contiennent pas d arbitraires; foient 

 Z' , Z", Z'", &c. des valeurs particulières de Z qui fatisfont 

 à l'équation, on aura en général £ zzr NZ' -\— N' Z" 

 -+- N" Z!" , &c. & ainfi de fuite indéfiniment; N,N', &c. 

 étant des fondions arbitraires qui ne varient pas avec Z. 



X V. Dans les équations ordinaires ou aux différences 

 finies même, cette forme étant celle que doivent avoir les 

 arbitraires dans la folution en termes finis , toutes les fois 

 qu'elle eft poffible, elle représente généralement la valeur 

 de Z; mais il n'en eft pas de même des équations aux diffé- 

 rences partielles , où l'on fait que ces arbitraires font fulcep- 

 tibles d'entrer dans l'intégrale fous une autre forme. 



XVI. Soit prife pour exemple l'équation — —- — 



ix ï x\ que M. Euler a réfolue (tome 111 de [on Calcul 



intégral) ; on a 



£■ = Ae -+- Be " t &c. 



en donnant à n toutes les valeurs poffibles. 



XVII. M. Euler trouve plus généralement encore 



„ À nlx -t- Vfnn — Wv r ... 



Z = Ae ' Jy {i-^-^AY(n—i)lx-\-A'^n—i)j\ 



r. nlx -+- y'fnn — \) y r _ , , , 



■4-Be { J> {i-+-iB'Y(n — \)lx-ï-B'(xn—\)y\, 



& ainfi de fuite, n étant quelconque. Cette féconde forme 

 renferme la première, en faifant A & B' égaux à zéro. 



XVIII. Je ne puis cependant regarder cette féconde 

 folution comme réellement plus générale que ia première ; 

 en effet, la première contient deux fériés de coëfficiens 

 arbitraires, répondant aux deux fonctions arbitraires qui 

 peuvent entrer dans les intégrales du fécond ordre; & pour 

 être fur que la féconde eft plus générale que la première , il 

 faudrait être fur qu'il n'y ait aucune fomme poffible d'une 



férié infinie de termes e" " ~ ''" ' - qui devienne 

 égale à Y(n — 1 ) lx zïz (2.11 — \ ) y. 



Fi; 



